多元双正交插值型尺度函数和小波的构造及应用_数学物理化学

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前言

被称为“数学显微镜”的小波分析不仅是当代基础数学理论和计算数学发展的一个突破性成果,也是近代工程技术科学发展的一个必然产物。小波分析及其应用的历史是应用领域与

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第1章　绪　论

(https://www.daowen.com)

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1.1　小波分析及应用的历史回顾

1807 年,法国数学家Jean Baptiste Joseph Fourier 指出,任何周期函数都可以用一个不同频率的正弦波和余弦波的无限和的形式来表达。

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1.2　本书问题的研究背景

膨胀因子为2 的经典一元可加细函数及加细方程的定义如下:如果φ∈L2(ℝ)满足则称φ 为膨胀因子为2 的2-可加细函数(或者2-尺度函数),并称a 为2-可

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第2章　多元(M,R)插值型双正交可加细函数向量的构造

在实际应用中,我们通常希望可加细函数及函数向量(或称尺度函数及函数向量)可以同时具有紧支性、插值性、正交性等性质,而这往往难以实现。 Selesnick 在文献

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2.1　多元多尺度分析、和规则和索伯列夫指数的计算理论

显然,A⊗B 是一个(IL) ×(JN)的矩阵。对于1≤p ＜∞,定义Lp(ℝ s)是由所有满足的Lebesgue 可测函数f 构成的集合。记f∈(

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2.2　(M,R)插值型可加细函数向量的定义和充要条件

定义2.2.1　如果可加细函数φ 是连续的,且满足则称可加细函数φ 是具有插值性的,即φ 是插值型可加细函数。文献[52]中给出了多元(M,R)插值型可加

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2.3　可加细函数向量的对称性和平衡性

本节给出多元函数情况下的对称性和平衡性的一般性描述。在一元情形下,如果ℝ 空间上的函数φ 满足则称函数φ 具有关于点c/2 的对称性, φ 的对称中心为c

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2.4　多元双正交(M,R)插值型可加细函数向量的构造

则有如下命题。代入式(2.35),很容易可得也就是实际上,对上式两边作Fourier 变换,借助引理2.1.2 经计算即可验证式(2.38)等

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2.5　构造算法和数值例子

构造算法的步骤如下。 ②确定支集E′∈Z2。 ③由定理2.2.1 里的式(2.28)到上面步骤②中条件,从而给出满足式(2.28)的序列{a(β),β∈E}。

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第3章　平行六边形上双正交Box样条周期插值小波的构造

我们构造的小波多是定义在无限区域上的,而现实生活中一般是有限区域上的问题。有限区域形状各种各样,而平行六边形区域是其中比较典型、比较常见的。因此,构造平行六边

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3.1　三向坐标系下平行六边形上广义的Fourier 分析方法

文献[91]中提出了三向坐标系下平行六边形上广义的Fourier 分析方法,给平行六边形上基于Box 样条的小波的构造提供了强大的工具,下面我们介绍这一方法。

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3.2　Box 样条和(Ω)中的周期多尺度分析

自1946 年Schoenberg 在文献[79]提出样条函数的概念以来,样条函数方法得到了迅速的发展和广泛的应用。 Box 样条函数是应用最广泛的一类多元样条

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3.3　Box 样条正交周期尺度函数和周期小波的构造

上一节,我们给出了(Ω)的一个周期多尺度分析,在此基础上,本节我们利用文献[92]的方法构造出相应的正交周期尺度函数和周期小波。虽然函数系{(t);k∈Δj}

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3.4　基于Box 样条的双正交插值周期尺度函数和小波的构造

本节利用文献[72]中构造一元双正交插值周期小波的思想,构造了三向坐标系下以平行六边形为周期的双正交插值小波。构造的小波不仅具有双正交M 插值的性质,还具有实

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3.5　分解重构算法的快速实现

不同于全空间上的小波,周期小波的滤波器随分辨率的提高而增长,因此,有必要考虑分解和重构算法的快速实现问题。基于小波的周期性,我们可结合三向坐标系下平行六边形上

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第4章　小波在手指静脉图像增强中的应用