1.2　本书问题的研究背景

1.2　本书问题的研究背景

膨胀因子为2 的经典一元可加细函数及加细方程的定义如下:如果φ∈L2(ℝ)满足

则称φ 为膨胀因子为2 的2-可加细函数(或者2-尺度函数),并称a 为2-可加细函数的mask 函数。

容易看出,MRA 原则中多分辨率空间的生成是与可加细函数φ 的性质息息相关的。 根据MRA 原则构造得到的小波及其小波拥有的性质也是与可加细函数φ 密切相关的。 选取什么样的可加细函数φ,以及如何构造恰当的可加细函数φ,这无论对小波分析的理论讨论,还是对具体的小波构造操作,都具有十分重要的意义。

在具体的应用问题中,往往希望可加细函数φ 拥有如下一些良好的性质。 像一定支集性、良好的衰减性、插值性、正交性、对称性等等。 然而膨胀因子为2 的经典一元加细方程[式(1.1)]和单小波的函数形式却给我们对可加细函数的选择带来了很多局限。 在文献[9]和文献[20]里指出,满足正交条件并兼具插值性的一元紧支2-可加细函数只有Haar 函数,即单位区间上的特征函数。 而文献[9]中又得到,同时兼具正交性和对称性的一元紧支2-可加细实函数也是唯一的,且仍只能是Haar函数。 虽然看起来Haar 函数拥有诸多良好的数学性质,但是由于其结构过于简单且不满足连续性,使Haar 函数在具体应用中很难具备良好的采样性能。 所以,仅仅依靠现有的一元单小波的形式进行小波构造的研究,是无法得到更多具有良好性质的可加细函数和小波函数。 这也就迫使人们不得不去寻求其他途径来获得和构造更多不同的小波。

1993—1994 年,全世界不同地方的小波学者不约而同地把研究的目光聚焦到函数向量形式下小波构造的问题上来。 虽然在这一时期的文献[21-24]里,人们对多小波的说法和概念还不统一,但是他们的数学描述却出奇的一致。 而第一个多小波标准正交基也正是在这些文献中首先给出的。 Geronimo 等在1994 年发表的文献[25]中首先给出了具有对称性的紧支连续可加细函数向量构造办法。 相关文献可以参考[26-31]。 这里特别要指出的是,Selesnick 在文献[32]中,通过推广插值型函数的概念,提出了插值型函数向量的形式,进而给出了满足插值性和正交条件的一元紧支连续甚至紧支连续可微的可加细函数向量构造方法。 众所周知,紧支连续可加细函数是不存在的,由此可见,基于函数向量的多小波构造可以很好地克服单小波形式下所带来的缺陷。

然而现实生活中的问题多是多元问题,在实际应用的推动下,多元小波的理论和构造的研究越来越多。

构造多元小波最简单的方法就是张量积方法。 张量积方法能够很容易由一元或低维小波直接构造出多元小波。 然而,张量积小波只是多元小波中的一小部分,而且由于其自身结构的原因使其在许多的实际应用中不能满足人们的需要。 又由于非张量积小波具有更大的自由度和一些张量积小波无法比拟的优点,因此,非张量积小波已成为目前多元小波构造的热点问题。

与一元单小波所面对的问题类似,多元单小波的形式也给多元小波的构造问题带来很多局限性。 例如Han 在文献[33]中就指出,对于s ×s 阶膨胀矩阵M,如果那么兼具连续性、正交性和对称性的多元紧支M-可加细实函数是不存在的,同时具有连续性、正交性和插值性的多元紧支M-可加细实函数也是不存在的。 因此目前有关多元小波的构造研究都主要是在双正交条件下完成的,参见文献[26,27,34-39]。

近年来,在国内外小波分析专家的共同推动下,通过引入了更加丰富的函数向量形式(如插值型函数向量)和更多精妙的构造方法,多元多小波的构造研究取得了相当的进步,多元可加细函数向量的理论有了快速的发展。 Chui,Jiang,Conti,Zimmermann 在文献[40,41]中第一次使用插值型向量加细格式。 Han 等在文献[42]中给出了Hermite 条件下的多元可加细函数向量构造理论。 Han 在文献[43]中,围绕着多元正交紧支小波的构造以及多元小波框架的理论展开了系统的讨论,得到了一些极富价值的理论结果。 Han 在文献[44]中,进一步从向量Cascade 算法和向量型加细方程入手,对满足稳定性条件的向量加细格式的成立条件以及收敛条件进行了讨论,并借助和推广之前文献[45-47]中给出的和规则概念(sumrules),给出了多元可加细函数向量一般形式下和规则定义的形式,还为满足和规则条件的多元可加细函数向量给出了临界光滑指数的算法。 可以说,Han 在文献[44]中完善了向量Cascade 算法研究的理论基础和工具,同时也为未来多元可加细函数向量的构造提供了坚实的理论工具。 文献[48]则是对文献[44]内容的一个补充,即对不满足稳定性条件的多元可加细函数向量的收敛性条件进行了讨论。 Dahlke 等在文献[26]中以及Selesnick 在文献[32]中提出了一元插值型多小波形式,Koch 在文献[49]中给出了一类全新的一元正交插值型紧支多小波构造办法。 之后,结合Jiang Qingtang 和Han Bin 等关于多元可加细函数向量的理论,也是作为文献[49]中插值型函数理论的延伸和发展,Koch 在文献[50]里进一步提出了构造多元正交插值型紧支可加细函数向量及其多小波的构造方法,并给出了一批数值实例。 虽然在Koch 的研究中,并没有严格地讨论和论证一元以及多元插值型函数向量成立的条件,但是考虑其最后构造的结果,也说明了这种定义方式和构造方法的可行性。 受Koch 在文献[49]中所给出的插值型函数向量形式的启发,Han 等进一步推广了一元插值型可加细函数向量的形式,经过严格的数学论证,在文献[51]中给出了更广义的一元紧支插值型可加细函数向量形式,将2 尺度一元可加细函数向量推广到任意尺度膨胀因子和任意重数,即(d,r)插值型可加细函数向量,这里d 是一元可加细函数向量的膨胀因子,r 是分量函数的个数,即函数向量的重数,并进一步给出了(d,r)插值型双正交可加细函数向量的构造方法。 孙佳宁把[52]的理论进一步推广到多元情形,给出了一类更广义的、全新的、具有一般形式的(M,R)插值型正交可加细函数向量的构造方法。(https://www.daowen.com)

传统意义上的小波是定义在整个空间上的,而多数实际问题常常是有限区域上的问题。 对有限区域上的问题,常用的解决办法是将有限区域上的数据向外延拓,然后利用定义在全空间上的小波进行处理。 这样的处理方法会产生边界误差,同时需要大量的额外计算。 因此构造有限区域上具有良好性质(光滑性、对称性、基插值性)的小波具有非常重要的意义。 其中,构造周期小波是构造有限区域上小波的一类重要方法。

周期小波首先是由Meyer[6]和Daubechies[9]通过对定义在整个实轴上的已有小波周期化得到的。 新加坡的S.L.Lee 教授、德国的G.Plonka 教授和中国的陈翰麟教授等为周期小波理论的建立和发展做出了重要的贡献。

Chui 等在文献[65]中,给出了一种利用三角多项式构造的周期小波。 Plonka等[68,69]、Koh 等[70]和Narcowich 等[66]首先给出了周期多尺度分析的定义,建立了一维周期小波的一般性理论,然后得到了不同形式的周期尺度函数和周期小波。 陈翰麟等在周期小波的构造方面做了许多重要的工作[71-77]。 陈翰麟等在文献[71]中构造了一种实值正交周期小波,相应的分解和重构算法只有四项。 后来陈翰麟、李登峰、彭思龙等构造出了一类双正交周期小波[72-76]。 这类周期小波具有插值、对称、实值和良好的局部性,不过相应的对偶尺度函数和小波的构造以及分解与重构算法都需要用到周期尺度函数之间内积的计算。 Goh 等给出了构造多元周期小波的一般方法[78]。

由于Box 样条有许多好的性质,因此人们构造了许多基于Box 样条的多元小波,关于Box 样条理论和计算可参考文献[79-85]。 Rimenschneider Shen、梁学章和金光日[86]各自独立由Box 样条出发,构造了二元Box 样条正交小波。 Chui 等从基于Box 样条函数生成的多尺度分析出发,构造了多元非张量积型紧支集Box 样条斜交小波[87]。 Riemenschneider 等构造了具有紧支集的Box 样条小波和预小波[88]。He 等人基于二元Box 样条,构造出了具有任意给定光滑度的双正交Box 样条小波[89]。 Liang 等由Box 样条函数出发,构造了一类正交周期小波,相应的分解和重构算法只有四项[90]。 在文献[72]中,Chen 等构造了一元双正交插值周期小波,构造的小波同时具有双正交、插值、对称、实值和局部性等好的性质。 但在文献[72]中构造对偶周期尺度函数和小波以及分解与重构算法时利用了循环矩阵(以初始周期尺度函数间的内积为元素的矩阵)的方法,需要大量的积分运算,计算复杂。 文献[93]对此方法进行了改进,构造的小波具有与文献[72]中同样的优点,但构造简单,并针对相应的分解与重构算法,给出了一种结合FFT 技术实现的具体算法。

Sun 提出了二维三向坐标系平行六边形上的广义Fourier 分析方法,为构造非乘积型周期域上的周期小波提供了方法[91]。 李强、梁学章从二元Box 出发,构造了一类三向坐标系下平行六边形上的周期正交小波[92]。 笔者与李强合作,利用三向坐标系下平行六边形上广义Fourier 分析的方法,从Box 样条出发,首先构造了以平行六边形为周期的二元周期正交小波。 在此基础上,利用文献[93]的思想,构造了以平行六边形为周期的双正交插值小波。 构造的小波同时具有双正交、插值、对称、实值等好的性质。 由于是有限区域上的周期小波,不可避免地遇到了一个很麻烦的问题,即随着尺度的增加,滤波器的长度也在增加,这样就大大增加了计算量。 我们利用三向坐标系下平行四边形上的广义快速Fourier 变换对分解重构公式进行处理,推导出了一种具体实现的快速算法,大大减少了计算量。

小波分析的构造是研究热点,小波分析的应用也如火如荼。

基于手指静脉图像的身份识别技术是一种前景广阔的新型识别方法,但由于手指静脉图像采集系统受采集时间、光强和个人手背厚度影响,所以,它所采集的图像在灰度分布图上有很大差异。 如果同一个人在不同光线情况下采集的灰度图像相差过大,会给随后的匹配增加难度,而图像增强处理是获取有效信息的保证。 因此对手指静脉图像作一些包括增强在内的预处理是非常重要的。

在Mallat 算法中,每次滤波后都要经过2∶1的亚采样,对应于图像边缘或不连续点的小波系数可能被抽采样,直接造成了图像分解和合成的非稳定性。 为了克服这种缺陷,引入了静态小波变换算法。 首先对原始静脉图像进行两层静态小波变换,然后根据不同频层的特点分别作去噪处理:对最低频,为了保持图像的平滑特性,采用软阈值方法;对中频层,由于其中含有静脉的边缘信息,这些边缘信息往往是以极值点的状态呈现,所以只保留中频层的极值点,其余点置为0;对高频层,由于其中大部分是孤立的噪声点,所以简单地采用硬阈值方法。 最后对处理后的各频层作静态小波逆变换,得到去噪后的图像。

手指不同部位也许有不同的阈值,经典的多阈值、单阈值分割方法不太适合手指静脉图像分割。 多阈值的分割效果好于单阈值。 随着阈值增加,分割效果一般会更好。 本书提出了一种四邻点阈值图像法,每个点的最终灰度值都参考了模板内部的各个点的灰度值,具有局部阈值特性,所以可得到比较好的结果。 实验表明了算法的有效性和可行性。