3.5 分解重构算法的快速实现
不同于全空间上的小波,周期小波的滤波器随分辨率的提高而增长,因此,有必要考虑分解和重构算法的快速实现问题。 基于小波的周期性,我们可结合三向坐标系下平行六边形上的广义FFT 对分解与重构算法进行加速。 本节针对前面构造的双正交尺度函数和双正交小波给出相应的两尺度关系,进而给出分解和重构算法,然后重点研究其具体实现问题。
首先,我们建立双正交尺度函数的两尺度关系。
从而可得
因此,两尺度关系式(3.42)中的组合系数有许多项为零。
接着我们建立对偶尺度函数的两尺度关系。
命题3.5.2 对任意j≥0,k∈Δj,由式(3.27)定义的
(x)满足如下两尺度关系:
其中
此处的
由式(3.17)定义。
证明 由式(3.27)、式(3.13)和式(3.28),对任意j≥0,k∈Δj 有
下面给出对应小波的两尺度关系。
与式(3.42)和式(3.43)相似,有如下命题。
其中
此处的
由式(3.17)定义。证明 这里只证明对偶小波的两尺度关系。 对任意j≥0,k∈Δj,ν=1,2,3,由定义式(3.37)、式(3.18)和命题3.4.5,有
其中
下面,我们给出对应的分解重构公式。
对任意j≥0,f∈
(Ω),定义投影算子:
对任意j≥0,k∈Δj,ν=1,2,3,记
则由两尺度关系式(3.46),对任意j≥0,k∈Δj,我们有
同理可得
同样,由两尺度关系式(3.46)和定义式(3.48),对于任意j≥0,k∈Δj+1,有
从而得到
分解算法:
重构算法:
其中(https://www.daowen.com)
,
由式(3.44)和式(3.45)定义。
下面考虑算法的快速实现问题,首先考虑算法的初始化问题。
若f∈VJ,则f(x)可表示为
注意到周期尺度函数
(x)的插值性,我们有
因此,分解算法中的最高分辨率小波展开系数就可以直接取为函数的离散采样值。
下面考虑分解算法。
其中
进一步,式(3.53)可改写为
其中
从而
对于μ=1,2,3,由式(3.49)和式(3.45)类似有
其中
由式(3.54)定义,
反过来,对于重构算法,由式(3.50),令
其中
又对于任意k∈Δj+1,存在0≤ν≤3 及l∈Δj 使得k=2l+eν,从而
进而由式(3.51)可得
其中
类似地,对于μ=1,2,3,由式(3.51)可得
其中
上面的分析表明,对于三向坐标系下平行六边形上的Box 样条周期插值双正交小波的分解与重构算法,利用广义FFT,我们可以通过下面的步骤来快速实现。
分解算法:
(3)由式(3.52)和式(3.57)求出滤波器
重构算法:
(2)对于任意k∈Δj+1,求出0≤ν≤3 及l∈Δj 使得k=2l+eν;
(3)由式(3.60)、式(3.63)和式(3.64)求出滤波器
