3.4 基于Box 样条的双正交插值周期尺度函数和小波的构造
本节利用文献[72]中构造一元双正交插值周期小波的思想,构造了三向坐标系下以平行六边形为周期的双正交插值小波。 构造的小波不仅具有双正交M 插值的性质,还具有实值、对称等好的性质,且构造过程计算简单。
证明 对任意j≥0,k∈Δj,由式(3.11)和命题3.1.4 可得
证毕。
由Box 样条的性质可得,对任意j≥0,k∈Δj
又
则有如下命题。
命题3.4.2 对任意j≥0,函数D j(x)具有插值性质:
对任意的p∈Δj。
证明 由式(3.21)和式(3.20),对于任意j≥0,p∈Δj 有
插值尺度函数D0(x)的图像如图3.6 所示。
对任意j≥0,k∈Δj,定义
则由命题3.4.2 和式(3.20)可得如下命题。
命题3.4.3 对任意j≥0,k,p∈Δj,由式(3.22)定义的函数
(x)具有插值性质
并且
图3.6 插值尺度函数D0(x)的图像
证明 由定义式(3.20)和性质式(3.22)可得
进而我们有如下命题。
同上,再取x=2 -jp,p∈Δj 可得
证毕。
对j≥0,k∈Δj,由命题3.4.3 和命题3.4.4 中的表示式(3.23)和式(3.24),我们有
下面,我们构造
(x)(j≥0,k∈Δj)的对偶函数。
对任意j≥0,k∈Δj,定义
对偶尺度函数
(x)的图像如图3.7 所示。
图3.7 对偶尺度函数
(x)的图像
命题3.4.5 对任意j≥0,k∈Δj,设
(x)由式(3.27)定义,则
进而,函数系{
(x),k∈Δj}构成了Vj 的一组基底。
证明 只需证明式(3.28)即可。
从而,对任意j≥0,k∈Δj 有
证毕。
另外,由式(3.23)和式(3.27),我们容易得到如下命题。
证明 由定义式(3.22)、式(3.25)和式(3.27),对任意的k,p∈Δj,有
其中用到了(https://www.daowen.com)
对任意u,ν=0,1,2,3,从而对于任意的j≥0,k∈Δj,ν=0,1,2,3,
故,对于任意的j≥0,k∈Δj,ν=0,1,2,3,
所以可以定义
插值小波函数G0,1(x),G0,2(x),G0,3(x)的图像如图3.8—图3.10 所示。
图3.8 插值小波函数G0,1(x)的图像
又对于j≥0,k∈Δj,u=1,2,3,由式(3.18)和式(3.20)有
图3.9 插值小波函数G0,2(x)的图像
图3.10 插值小波函数G0,3(x)的图像
由此我们可得
从而,对于j≥0,k∈Δj,ν=1,2,3,若令
则类似于命题3.4.3,我们可得如下命题。
命题3.4.7 对于j≥0,k∈Δj,ν=1,2,3,设
(x)由式(3.32)定义,则
并且有表示
由命题3.4.7 和命题3.4.8,类似式(3.25)的推导,对任意j≥0,ν =1,2,3,k,l∈Δj,有
从而,对j≥0,ν=1,2,3,若令
则式(3.35)等价于
下面,我们来定义相应的对偶双正交小波函数。
对j≥0,ν=1,2,3,k∈Δj,我们定义
命题3.4.8、命题3.4.9 和命题3.4.10 说明:对任意j≥0,ν =1,2,3,函数系
构成了
的一对对偶基,称其为双正交周期小波。
下面证明基于Box 样条构造的周期插值双正交尺度函数和小波都是实值,这给计算带来了很大方便。
这说明了D j(x)为实值,又
这说明D j(x)为中心对称的。 由此我们容易证明式(3.39)中的第一个等式成立。
另外,对于任意j≥0,k∈Δj,ν,μ=1,2,3,由式(3.29)有
又由注3.3.5,有
故由式(3.31),有
从而有
特别有
则利用定义式(3.30)我们可以证明
故由定义式(3.32),式(3.39)中的第二个等式成立。
类似的有如下命题。
图3.11 对偶小波函数
(x)的图像
图3.12 对偶小波函数
(x)的图像
图3.13 对偶小波函数
(x)的图像
