8.2.2 二值图像的腐蚀运算
二值图像是值只有0和1的图像，利用数学形态学运算处理图像的时候，运算只对值为1的区域进行处理。设一幅图像目标区域为集合A，结构元素(腐蚀因子)为S，令结构元素S 在图像上移动，则对于每个当前位置x，S+x 有三种状态：
(1)S+x⊆A；(2)S+x⊆A ；(3)S+x∩A 和S+x∩A都不为空，具体如图8.10所示。
图8.10 结构元素与目标对象关系图
状态1表示S+x 与A 相关最大，状态2表示S+x 与A 不相关，状态3表示S+x 与A 部分相关。定义图像中所有最大相关的点的集合为S 对A的腐蚀，记为AΘS，集合的表示方式为：
图8.11中A 是被处理的目标区域，S 是结构元素。由定义可知，目标区域经过腐蚀后剩余的点x 都满足S+x⊆A，剩余的阴影部分都在A 的范围之内，并且比A 要小，目标区域A 像被溶解掉一层，因此称这过程为腐蚀。腐蚀的直接作用是消除物体边沿的点。(https://www.daowen.com)
图8.11 腐蚀示意图
在实际应用当中，腐蚀的结果和结构元素(腐蚀因子)的大小和形状选取有相当大的关系。如图8.12为三种不同大小和形状的结构元素数组表示方式：
图8.12 不同大小和形状的结构元素图
(a)3×3方形结构元素；(b)5×5菱形结构元素；(c)5×5圆形结构元素
利用3×3方形结构元素去腐蚀目标区域时，可以使目标区域沿边界减少一个像素，因为结构元素大小太小的缘故，腐蚀的效果并不明显，可以经过多次腐蚀来增加效果；若利用大一些的5×5圆形结构元素去腐蚀目标区域，一次腐蚀目标会沿边界减少两个像素。利用5×5菱形结构元素虽然一次也能沿边界减少两个像素，由于两个结构元素的形状不一样的原因，如图8.12中方框内表示圆形结构元素比菱形结构元素在四周要多两个值为1的点，在腐蚀过程中就会少腐蚀像素，腐蚀结果就会使目标区域边界呈圆滑性，而菱形结构元素则腐蚀性更好，腐蚀结果边界会呈现一些尖角。当结构元素的大小继续增大时，图像中一些小目标区域长宽小于结构元素，结果会被直接腐蚀掉。在颗粒图像处理中合理利用这些性质，可以有效地简化图像，使粘连颗粒分开一些，滤掉干扰小物体。
