2.2.1 平稳随机激励下的ARMAX模型
令na、nc和ne分别表示AR、MA和X部分的阶数，则ARMAX（na，nc，ne）模型可写为
式中，x［k］∈ℝNo×1，表示测量的结构振动信号向量；u［k］∈ℝNi×1，为结构受到的激励向量；e［k］∈ℝNo×1，表示均值为零且协方差为Σ∈ℝNo×No的新息序列；No为响应通道数，Ni为激励点数；Ai、Ci和Ei分别表示ARMA模型第i阶AR、MA和X系数矩阵；N（·，·）为正态独立分布；［k］表示第k个离散时刻。
在工作模态分析中，作用在结构上的激励一般是未知的，假设其为平稳白噪声，这种情况下式（2.1）中的u［k］也为白噪声。因此，ARMAX模型可简化为ARMA模型，式（2.1）可写为
ARMA模型本质上可看成以白噪声为输入、x［k］为输出的动态系统，本节后续理论推导表明，该动态系统与结构动力学系统是等价的。在实际应用中，当作用在结构上的输入信号不可知时，传统的基于输入／输出的模态分析方法将遇到困难，此时假设输入为白噪声是一种简单易行的方式，因此ARMA模型被广泛应用于工作模态分析领域。
引入后移（backshift）算子B，即Bix［k］＝x［k-i］，则式（2.2）可改写为
式中，A［B］和C［B］分别为AR和MA的多项式算子，具有如下形式：
式中，I为单位矩阵。
对于时不变系统，假设初始条件为0，则后移算子B＝z-1，其中z为Z变换的变量。将其代入式（2.3）与式（2.4），则ARMA模型的传递函数为
式中，矩阵A［z］和C［z］的表达式为
取z＝eiω·Ts，i表示虚数单位，即i2＝-1，Ts为采样时间间隔，则响应信号y［t］的功率谱密度可写为
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系统的特征方程为
根据式（2.3）与式（2.4），可得
式中，
式中，A0＝C0＝I。
若要求输出x［t］为平稳随机序列，则H［B］的极点全部位于单位圆外，即式（2.8）所示特征方程的根均在单位圆内。同理，若要求白噪声e［k］可用输出信号x［k］表示，则H［B］的极点全部位于单位圆外，即要求如下方程的根均在单位圆内：
因此，可从如下角度来理解ARMA模型：一方面，平稳的时间序列x［k］可用白噪声e［k］的线性运算表示，这体现了x［k］的平稳性，实际上，x［k］可表示成e［k］的无穷级数；另一方面，白噪声e［k］可用平稳时间序列x［k］的线性运算表示，这体现了x［k］的可逆性，实际上，e［k］可表示成x［k］的无穷级数。白噪声输入与平稳随机输出之间的递推关系用ARMA模型表示。从信号处理的角度，对于过去时刻而言，ARMA是关于过去值x［k］的平滑器；对于现在时刻而言，ARMA模型是关于现在值x［k］的滤波器；对于未来时刻而言，ARMA模型是关于未来值x［k］的预测器。实际上，不论是对时间序列的平滑、滤波还是预测，都是对真值的估计。因此，ARMA是一个对x［k］真值的估计器，只不过根据所处的时刻不同，才有平滑、滤波、预测之分。
由上述分析还可看出，平稳可逆的ARMA模型既可以展成无穷阶的MA模型，也可以展成无穷阶的AR模型，即ARMA模型与无穷阶的AR模型和无穷阶的MA模型等价，这也是实际应用时常采用高阶AR模型描述平稳随机序列的原因。
AR模型不考虑MA和X部分，即取nc＝ne＝0，ARMAX（na，nc，ne）模型可写为AR（na）形式：
若考虑X部分，不考虑MA部分，即取nc＝0，则ARMAX（na，nc，ne）模型可写为ARX（na，ne）形式：
若作用在结构上的激励未知，则在白噪声假设下可直接采用AR模型对结构振动响应信号进行建模，结构的动力学特性蕴含在AR模型的系数矩阵中。对于激励已知的系统，可采用ARX模型进行建模。AR和ARX模型的系数矩阵估计是一个线性寻优过程，计算效率高；由于存在MA部分，ARMA和ARMAX模型的系数矩阵估计需要求解非线性优化问题，计算效率较低。这是AR和ARX模型相对于ARMA和ARMAX模型的一个优势。
