2.2.3　状态空间模型与ARMA模型的等价性

2.2.3　状态空间模型与ARMA模型的等价性

在工作模态分析中，ARMAX模型与状态空间模型中的输入项均可省略，本节旨在阐释式（2.2）所示的ARMA模型与式（2.30）所示的状态空间模型在理论上的等价性。

2.2.3.1　状态空间模型向ARMA模型的转化

ARMA模型中的白噪声项只有新息序列e［t］，而状态空间模型中的白噪声项包含状态噪声与测量噪声，为后续推导方便，首先对离散状态空间模型进行转化。

根据卡尔曼滤波理论，式（2.30）所示的状态空间模型中的状态估计与新息序列可表示为

式中，状态方程中的预测误差ε［k］表示数据y［k］中无法通过旧数据预测的部分；K∈ℝ2n×No，表示卡尔曼增益矩阵；变量的上标“＾”表示该变量为预测值。

此时，式（2.32）所示的状态空间方程可转化成可观测性范型（observability canonical form），如下：

式中，Kob＝TobK；Cob＝；

将矩阵Kob拆成m个No×No的小矩阵，即写成如下形式：(https://www.daowen.com)

则式（2.34）中的状态方程可表示为

则可消去式（2.34）中的状态变量，写成如下形式：

式（2.38）的推导过程可参见文献［259］，式中的矩阵Ci可由下式求得：

对比式（2.2）与式（2.38）可以发现，式（2.32）所示的状态空间方程可转化成AR和MA阶数相等的ARMA模型，其中状态空间模型的阶数为2n，而ARMA模型的AR和MA阶数均为m，且满足mNo＝2n，因此状态空间模型的可观性指数决定了等价ARMA模型的阶数。

2.2.3.2　ARMA模型向状态空间模型的转化

式（2.2）所示的ARMA模型可转化为如下离散状态空间模型［260］：

由式（2.40）可以看出，AR和MA阶数均为m的ARMA模型可转化为阶数为mNo的状态空间模型。因此，对于工作模态分析而言，结构动力学方程、状态空间模型与ARMA模型具有等价性，结构的动力学特性既能通过状态空间模型的状态转移矩阵体现，也可等价地通过ARMA模型的系数矩阵体现。对于工作模态分析而言，作用在结构上的激励往往未知，通过时间序列模型直接对结构的输出响应进行建模，通过参数估计方法来估计模型的系数矩阵，即可提取时序信号中蕴含的动态信息，物理含义明确，建模过程简单易行。