2.2.2 结构动力学方程的状态空间表示
结构动力学方程经离散后可写成离散状态空间模型，也可写为差分方程形式，三者是完全等价的。传感器测量的结构响应信号属于典型的时间序列，在激励为白噪声的假设下，结构响应信号可通过时间序列模型进行分析。时间序列模型属于离散模型，具有随机差分方程的形式，在一定条件下与结构动力学方程是等价的。时间序列模型不仅可揭示动态数据本身的结构和规律，还可定量地了解观测数据之间的线性相关性，并作出预测。
对于自由度为n的线性时不变结构，假设系统具有黏性阻尼，则结构动力学方程可写为
式（2.14）可改写为
式中，0n×n表示维度为n×n的空矩阵；0n×1表示n维零向量；In表示n×n的单位矩阵。
记状态变量z（t）＝T-1［yT（t）
（t）］T，其中T为任一非奇异常数矩阵，则式（2.15）可改写为
令
则式（2.16）可改写为
传感器测量的系统输出可写为
式中，Ca∈ℝNo×n，Cv∈ℝNo×n，Cd∈ℝNo×n，分别表示加速度、速度和位移的测量矩阵，测量自由度对应的元素为1，未测量自由度对应的元素为0，维度为No×n。
结合式（2.14）、式（2.19），并考虑z（t）＝T-1［yT（t）y•T（t）］T，则式（2.19）可写为
式中，Cc＝［（Cd-CaM-1K）T（Cv-CaM-1C）T］；Dc＝CaM-1。
联立式（2.18）与式（2.20），得
式（2.21）即状态空间方程。其中，z（t）为状态变量；Ac∈ℝ2n×2n，Bc∈ℝ2n×2n，Cc∈ℝNo×2n，Dc∈ℝNo×Ni，分别为系统矩阵、输入矩阵、观测矩阵和输出矩阵。
由上述推导可以看出，式（2.21）所示的状态空间模型与结构动力学方程是完全等价的。实际应用中，由数采系统采集的数据均为离散数据，因此需将式（2.21）所示的连续形式的状态空间模型转化为离散形式的状态空间模型。
对式（2.21）中的状态方程两侧同时左乘矩阵e-Ac t，得(https://www.daowen.com)
对式（2.22）进行积分，得
式中，t0、t分别为积分的初始时刻和终止时刻；z0、zt分别为初始状态和终止状态。
式（2.23）中右边的积分可写为
式（2.23）中左边的积分可写为
根据式（2.24）和式（2.25），有
将式（2.26）左乘eAc t，变为
取积分初始时刻和终止时刻分别为t0＝kTs和t＝（k＋1）Ts，其中Ts为采样间隔，即考虑一个时间步长内的积分；假设在单个时间步长内采用零阶保持器，即kTs≤τ＜（k＋1）Ts时，有f（τ）＝f（kTs）。记θ＝t-τ，则式（2.27）可改写为
根据上述推导可以看出，结构动力学方程与离散形式状态空间模型之间具有等价关系，二者可以相互转化。值得注意的是，一个自由度为n的系统对应的状态空间模型阶数为2n。
在工作模态分析中，假设作用在结构上的未知激励为平稳白噪声，则式（2.29）所示的离散状态空间模型可简化为
式中，w［k］∈ℝ2n×1，v［k］∈ℝNo×1，分别为状态噪声和测量噪声。
假设输入噪声与观测噪声为零均值的相关白噪声，即假设
式中，Σw和Σv分别为噪声w［k］和v［k］的方差矩阵；S为相关矩阵；δkη为克罗内克函数，当k＝η时δkη＝1，否则δkη＝0。
由上述推导可以看出，通过式（2.14）所示的结构动力学方程，可直接推导出式（2.31）所示的离散状态空间模型，二者是完全等价的。
