2.3.1 TARMA模型的基本形式
对于动力学特性随时间变化的结构，其动力学响应呈非平稳特性。对非平稳时间序列建模时，ARMA模型的系数矩阵Ai、Ci和新息序列协方差矩阵Σ均是时间相关的，变为TARMA模型。TARMA（na，nc）模型可写为如下形式：
式中，Ai［k］和Ci［k］分别表示TARMA模型的时变AR和MA系数矩阵。
对于时变系统而言，后移算子B与Z变换之间的关系不满足B＝z-1，需引入斜多项式乘法（skew polynomial multiplication）算子“。”，后移算子B满足该算子［262］，计算规则如下：
根据式（2.45），可以得出TARMA模型时间相关的传递函数为
取B＝e-jω·Ts，可得TARMA模型时间相关的频率响应函数为(https://www.daowen.com)
由于式（2.47）中存在斜多项式乘法，故此时系统的特征方程不能写成式（2.8）的形式。与时不变系统不同，时变系统每个时刻的特征值一般是不共轭的，因此理论上时变系统的模态参数与时不变系统的模态参数含义不同。但对于慢时变系统而言，二者之间的差别很小，Liu［263，264］在此基础上提出了时变系统的“伪模态参数”概念，通过忽略不共轭极点之间的微小差别，将时变系统的模态参数也写成与时不变系统模态参数相同的形式。Zadeh［265］和Shahruz等［266］提出了“时间冻结”的方法，将时变结构在每个时刻进行“冻结”，忽略动力学特性随时间的变化率，将时变系统与时不变系统联系。
若在每一时刻对TARMA模型进行“时间冻结”，则其“时间冻结”功率谱密度函数为
式中，矩阵A［ω，k］和C［ω，k］的表达式为
在“时间冻结”假设下，时变结构的功率谱密度函数和系统特征方程均与时不变结构的形式完全相同，其本质是忽略了结构动力学特性随时间变化率的影响。
