2.3.2　基于泛函展开的TARMA模型

1.2.2.2节已介绍了TARMA模型的分类，根据TARMA模型时变参数的数学结构形式，可将其划分为UPE、SPE和DPE三类。其中，本书涉及的主要是DPE和式（2.44）所示UPE形式的TARMA模型，本节将详细介绍DPE形式的FS-TARMA模型［97，107］。

理论上，任意给定的函数都可以通过足够阶数的基函数进行任意精度的逼近。将TARMA模型的时间相关系数矩阵Ai［k］和Ci［k］进行基函数展开：

式中，Ai，j、Ci，j为第j阶投影矩阵；Gba（j）和Gbc（j）分别为从泛函子空间ba和bc中选取的基函数，ba（j）和bc（j）均为所选基函数的编号；pa和pc分别为AR和MA基函数的阶数。(https://www.daowen.com)

同理，可对新息序列协方差矩阵进行基函数展开，但由于协方差矩阵的估计容易出现数值不稳定，且其具体演化形式对模态参数辨识结果影响很小，因此一般不对协方差矩阵进行基函数展开，只对时变的AR和MA系数矩阵进行展开，此时的FS-TARMA模型也称“半参数化”（semi-parametric）模型［107］。FS-TARMA（na，nc，pa，pc）模型可写为

由于式（2.44）中的系数矩阵随时间变化，因此一般采用递推格式进行估计，而式（2.51）所示的FS-TARMA模型将时变系数矩阵的估计问题转化成了时不变投影矩阵的估计问题，因此不采用递推格式也可求解。