2.3.3　TARMA模型参数的估计

针对式（2.44）所示的无结构化TARMA模型和式（2.51）所示的FSTARMA模型，本节分别给出模型系数矩阵估计的最小二乘递推伪线性回归（least squares-linear regression，LS-RPLR）方法和两步最小二乘（two-stage least squares，2SLS）方法。这两种方法均假设新息序列e［t］满足高斯分布，根据中心极限定理，现实中的测量噪声大多满足高斯分布假设，因此这两种方法得到了广泛应用。

2.3.3.1　递推伪线性回归方法

递推指的是估计方法在采集到最新时刻的振动响应数据后，即可依据新数据对原估计参数实现更新，而不是基于所有数据重新对原估计参数进行估计和更新。

非结构化TARMA模型可以写成线性回归形式：

式中，时变系数矩阵θT［k］和回归向量φ［k］具有如下形式：

不难发现，非结构化TARMA模型对时变系数矩阵θT［k］无任何限制，其即不像确定性结构化TARMA模型那样将其投影至泛函空间，也不像随机性结构化TARMA模型那样给予一定的先验随机约束，因此非结构化TARMA模型的数学表达形式更简洁，易于进行数学推导。

针对非结构化TARMA模型的递推估计，希腊帕特雷大学的Fassois教授对其进行了深入研究。现将基于指数遗忘机制的递推伪线性回归TARMA模型最小二乘参数估计方法［267］总结如下：

式中，K［k］为增益矩阵；P［k］为协方差矩阵；x＾［k｜k-1］为信号的一步超前预测；［k｜k-1］为相应的预测误差。

通过适当调节遗忘因子λ，该方法可用于跟踪不同时变特性的物理系统。

该递推算法的初始化为：［0］＝0，P［0］＝αI。参数α一般取较大的正数（如α＝104），旨在使初始阶段的协方差矩阵足够大，以保证递推过程的稳定性。由于协方差矩阵的对角元素与参数估计值的标准差成比例，因此初始状态时α取值较大表明初始参数估计的误差相对较大，即初始估计的参数不可靠［268］。但是随着递推过程持续进行，由于遗忘机制的引入，α对估计过程的影响将逐渐消失。

2.3.3.2　两步最小二乘方法

2.3.3.1节考虑的是无结构化TARMA模型系数矩阵的递推估计，递推方法具有计算效率高、存储空间要求低、有在线应用的潜力等优势，对于数采系统不断采集响应并传输至数据处理模块的情况较为适用，但递推估计方法的稀疏性较差，辨识精度不高。因此，若可预先完全获得响应信号，则对发展稀疏性好、精度高的批量方法具有重要的实用意义。基于泛函序列展开的FS-TARMA模型在桥梁、风机等大型工程结构的振动响应分析和模态参数辨识中被广泛应用，本节将重点介绍FS-TARMA模型系数矩阵估计的两步最小二乘方法［97］。

将式（2.51）所示的FS-TARMA模型改写成矩阵形式如下：

由式（2.56）可以看出，FS-TARMA模型的MA部分含有k时刻之前的新息序列值，因此估计系数矩阵需要求解非线性优化问题，可采用最大似然估计、总体最小二乘等方法迭代求解。为提高计算效率，本书采用两步最小二乘方法，将该非线性问题转化为两步线性问题。2SLS方法分为以下两个步骤：(https://www.daowen.com)

步骤1：采用高阶截断的TAR模型对新息序列e［k］做出最小二乘估计。理论上，一个TARMA模型可转化成一个无穷阶的TAR模型。为求解方便，对无穷阶TAR模型进行ng阶截断，并对截断模型的时变系数矩阵在基函数上展开，得