4.3 基于统计特性的谐波响应检测
谐波激励响应与随机激励响应的概率密度函数具有显著区别。根据中心极限定理，作用在结构上的宽带环境激励可假设为高斯分布，其响应的概率密度函数可写为
式中，ps表示随机概率；x为随机激励响应的取值；μ和σ分别为响应均值和标准差。
谐波激励响应不具备高斯特性，其概率密度函数为［126，129］
式中，ph表示谐波概率；A为谐波响应的幅值。
式（4.9）的具体推导参见文献［278］。
标准高斯分布（μ＝0，σ＝1）和幅值为1的谐波响应的概率密度函数（PDF）曲线如图4.3所示。由图4.3（a）可以看出，高斯分布的概率密度函数关于x＝0对称，整体上呈“钟形”，在均值处达到最大值1／（
），向两端逐步减小至0。由图4.3（b）可以看出，谐波响应的概率密度函数关于x＝0对称，在区间［-1，1］内，ph在x＝0点达到最小值，在x＝±1达到无穷大；在区间［-1，1］外，ph等于0。
图4.3 两种概率密度函数（PDF）曲线对比(https://www.daowen.com)
（a）高斯分布的概率密度函数曲线；（b）谐波响应的概率密度函数曲线
高斯分布的概率密度函数曲线呈现单峰特性，而谐波响应的概率密度函数曲线呈现双峰特性，因此可根据信号的概率密度函数判定响应类型。基于4.2节的信号分解结果，绘制分解信号的直方图。若直方图呈现单峰特性，则该分解信号属于随机响应；若直方图呈现双峰特性，则该分解信号属于谐波响应。
随机变量概率分布特性可通过矩来体现，随机变量X的前四阶矩定义为
式中，μ为随机变量均值。
由式（4.10）可以看出，随机变量的一阶原点矩m1和二阶中心矩m2分别对应总体均值和总体方差，即m1＝μ，m2＝σ2。三阶中心矩和四阶中心矩分别与概率密度函数的偏斜度和峰度有关，定义偏斜度系数（skewness）S和峰度系数（kurtosis）K如下：
偏斜度系数是对统计数据分布偏斜方向及程度的度量。当分布对称时，偏斜度系数S＝0；当分布正偏时，偏斜度系数S＞0，反之则S＜0。峰度系数是用来衡量统计数据分布的集中程度或分布曲线尖俏程度的指标。峰度K＞3时，表示分布的形状比高斯分布更尖更高，意味着分布比高斯分布更集中在均值周围，称为尖峰分布；峰度K＜3时，表示分布的形状比高斯分布更扁平，意味着分布比高斯分布更分散，称为扁平分布，谐波响应即属于这一类，其峰度系数K＝1.5；峰度K＝3时，为高斯分布。为更清晰地与高斯分布进行比较，常采用超值峰度（excess kurtosis）系数Ke，定义如下：
Ke＜0、Ke＝0和Ke＞0分别对应扁平分布、高斯分布和尖峰分布，谐波响应Ke＝-1.5。基于非平稳信号分解后得到的信号分量，就可根据直方图直观地区分真实模态响应与谐波响应，进一步可通过计算信号分量的超值峰度系数进行判断。
