5.5.2　基于TARMA模型的卡尔曼滤波估计方法

5.5.2　基于TARMA模型的卡尔曼滤波估计方法

5.5.2.1　TARMA模型的等价状态空间表示

卡尔曼滤波是一种基于状态空间模型的递推方法，可用于数据的平滑、估计与预测。状态空间模型是刻画系统动态特性的重要工具，系统动力学方程、状态空间模型与时间序列模型之间可相互转换。本节首先将时间序列模型写成状态空间模型的数学形式，随后发展基于等价状态空间模型的卡尔曼滤波估计方法。

TARMA模型可以写成线性回归形式：

为不失一般性，可将参数矩阵ΘT［t］看作状态空间方程中的状态矩阵，其具有动态、随机变化的特性，则式（5.45）可改写为等价状态空间形式如下：

式中，F［t］为状态传递矩阵，表征了不同时刻下参数矩阵的传递关系；v［t］为零均值状态噪声，且满足E［v［t］vT［j］］＝R1［t］δtj；eT［t］为零均值量测噪声，且满足E［eT［t］e［j］］＝R2［t］δtj；E［·］表示数学期望算子；δtj为克罗内克函数，当t＝j时δtj＝1，t≠j时δtj＝0。

假设E［v［t］e［j］］＝0，并且状态传递矩阵F［t］、状态噪声协方差矩阵R1［t］和量测噪声协方差因子R2［t］已知，则式（5.46）所表示的状态空间方程可以采用经典卡尔曼滤波估计方法获得状态矩阵Θ［t］的更新格式，如下［291］：

式（5.48）的初始化条件为［0］＝0，P［0］＝αI。参数α一般取较大的正数（如α＝104），旨在使初始阶段的协方差矩阵足够大，保证递推过程的稳定性。因为协方差矩阵的对角元素与参数估计值的标准差成比例关系，而初始状态时α取值较大，这表明初始参数估计的误差相对较大，即初始估计的参数不可靠［268］。随着递推过程持续进行，由于遗忘机制的引入，α对估计过程的影响将逐渐消失。

5.5.2.2　基于最大互相关熵的卡尔曼滤波估计方法(https://www.daowen.com)

卡尔曼滤波估计方法是状态空间模型中的经典估计方法，然而其推导过程仍离不开噪声的高斯假设条件，因此从数学角度上看，卡尔曼滤波估计是高斯条件下的最大似然解。为了拓展卡尔曼滤波估计方法的应用范围，使其不仅能在高斯条件下展现优异的估计性能，还能在非高斯脉冲噪声条件下表现出良好的鲁棒性，本节将在卡尔曼滤波中引入最大互相关熵估计子中的“权重缩减”思想，即给予残差特性小的数据以较小的权重，残差特性大的数据以较大的权重，建立最大互相关熵卡尔曼滤波的更新格式。

基于式（5.46）所描述的TARMA模型状态空间形式下，假设在一步时间范围内，系统的物理特性变化缓慢，则变量E＾［t］满足

式中，ρ（·）为权重函数。对于权重函数的讨论可以参考4.3.3节。

在此直接给出最大互相关熵卡尔曼滤波（maximum correntropy kalman filter，MC-KF）的更新格式为

柯西加权最大互相关熵卡尔曼滤波（Cauchy weighted maximum correntropy Kalman filter，CWMC-KF）估计方法的更新格式为

5.5.2.3　模型结构问题的讨论

步骤1：选取AR阶数na、MA阶数nc和形状参数g。不考虑正则化状态噪声方差矩阵R［t］，根据5.5.1.2节中CWMC-RPLR-TARMA模型结构参数的选择步骤，确定参数na、nc和g。

步骤2：选择噪声因子η。在步骤1确定的模型结构参数基础上，通过反复试验方法来确定一个较合理的η值，正则化状态噪声方差矩阵R［t］＝ηI。