2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（3）如图所示，连续函数y＝f（x）在区间[－3，－2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[－2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周．设，则下列结论正确的是
（4）设函数f（x，y）连续，则二次积分
等于
（5）设某商品的需求函数为Q＝160－2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是
(A)10.(B)20.(C)30.(D)40.
（6）曲线
渐近线的条数为
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.
（7）设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是
(A)α1－α2,α2－α3,α3－α1.(B)α1＋α2,α2＋α3,α3＋α1.
(C)α1－2α2,α2－2α3,α3－2α1.(D)α1＋2α2,α2＋2α3,α3＋2α1.
（8）设矩阵
，则A与B
（A）合同且相似．（B）合同，但不相似．
（C）不合同，但相似．（D）既不合同，也不相似．
（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p（0＜p＜1），则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
(A)3p(1－p)2.(B)6p(1－p)2.(C)3p2(1－p)2.(D)6p2(1－p)2.
（10）设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX（x），fY（y）分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX|Y（x|y）为
(A)fX(x).(B)fY(y).(C)fX(x)fY(y).
二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分．
（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于
的概率为_______.
三、解答题：17～24小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本题满分10分）
设函数y＝y（x）由方程ylny－x＋y＝0确定，试判断曲线y＝y（x）在点（1，1）附近的凹凸性．
（18）（本题满分11分）
设二元函数
计算二重积分
，其中D＝{（x，y）||x|＋|y|≤2}.
（19）（本题满分11分）
设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导且存在相等的最大值，又f（a）＝g（a），f（b）＝g（b）.证明：
（Ⅰ）存在η∈（a，b），使得f（η）＝g（η）；
（Ⅱ）存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）＝g″（ξ）.
（20）（本题满分10分）
将函数
展开成x－1的幂级数，并指出其收敛区间．
（21）（本题满分11分）
设线性方程组
与方程组
有公共解，求a的值及所有公共解．
（22）（本题满分11分）
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，且α1＝（1，－1，1）T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．
（Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵B.
（23）（本题满分11分）
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
（Ⅰ）求P{X＞2Y}；
（Ⅱ）求Z＝X＋Y的概率密度fZ（z）.
（24）（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
其中参数θ（0＜θ＜1）未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本
是样本均值．
（Ⅰ）求参数θ的矩估计量
；
（Ⅱ）判断
是否为θ2的无偏估计量，并说明理由．（相当于判断E（
）是否为θ2）