2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．
(1)
＝_________.
（2）设函数f（x）在x＝2的某邻域内可导，且f′（x）＝ef（x），f（2）＝1，则f‴（2）＝_________.
（3）设函数f（u）可微，且
，则z＝f（4x2－y2）在点（1，2）处的全微分
＝_________.
（4）设矩阵
，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA＝B＋2E，则|B|＝________.
（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max{X，Y}≤1}＝________.
（6）设总体X的概率密度为
为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则E（S2）＝_________.
二、选择题：7～14小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（7）设函数y＝f（x）具有二阶导数，且f′（x）＞0，f″（x）＞0，Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f（x）在点x0处对应的增量与微分，若Δx＞0，则
(A)0＜dy＜Δy.(B)0＜Δy＜dy.(C)Δy＜dy＜0.(D)dy＜Δy＜0.
（8）设函数f（x）在x＝0处连续，且
，则
（A）f（0）＝0且f′－（0）存在．（B）f（0）＝1且f′－（0）存在．
（C）f（0）＝0且f′＋（0）存在．（D）f（0）＝1且f′＋（0）存在．
（10）设非齐次线性微分方程y′＋P（x）y＝Q（x）有两个不同的解y1（x），y2（x），C为任意常数，则该方程的通解是
(A)C[y1(x)－y2(x)].(B)y1(x)＋C[y1(x)－y2(x)].
(C)C[y1(x)＋y2(x)].(D)y1(x)＋C[y1(x)＋y2(x)].
（11）设f（x，y）与φ（x，y）均为可微函数，且φ′y（x，y）≠0，已知（x0，y0）是f（x，y）在约束条件φ（x，y）＝0下的一个极值点，下列选项正确的是
（A）若f′x（x0，y0）＝0，则f′y（x0，y0）＝0.（B）若f′x（x0，y0）＝0，则f′y（x0，y0）≠0.
（C）若f′x（x0，y0）≠0，则f′y（x0，y0）＝0.（D）若f′x（x0，y0）≠0，则f′y（x0，y0）≠0.
（12）设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是
（A）若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
（B）若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．
（C）若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
（D）若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．
（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记
(A)C＝P－1AP.(B)C＝PAP－1.(C)C＝PTAP.(D)C＝PAPT.
（14）设随机变量X服从正态分布
，随机变量Y服从正态分布
，且
则必有
(A)σ1＜σ2.(B)σ1＞σ2.(C)μ1＜μ2.(D)μ1＞μ2.
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分7分）
（16）（本题满分7分）
计算二重积分其中D是由直线y＝x，y＝1，x＝0所围成的平面区域．
（17）（本题满分10分）
证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb＋2cosb＋πb＞asina＋2cosa＋πa.
（18）（本题满分8分）
在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M（1，0），其上任意点P（x，y）（x≠0）处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a＞0）.
（Ⅰ）求L的方程；
（Ⅱ）当L与直线y＝ax所围成平面图形的面积为
时，确定a的值．
（19）（本题满分10分）
求幂级数
的收敛域及和函数S（x）.
（20）（本题满分13分）
设4维向量组α1＝（1＋a，1，1，1）T，α2＝（2，2＋a，2，2）T，α3＝（3，3，3＋a，3）T，α4＝（4，4，4，4＋a）T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关？当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．
（21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝（－1，2，－1）T，α2＝（0，－1，1）T是线性方程组Ax＝0的两个解．
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；
（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ＝Λ；
（Ⅲ）求A及
，其中E为3阶单位矩阵．
（22）（本题满分13分）
设随机变量X的概率密度为
令Y＝X2，F（x，y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数．求：
（Ⅰ）Y的概率密度fY（y）；
(Ⅱ)Cov(X,Y);
(Ⅲ
.
（23）（本题满分13分）
设总体X的概率密度为
其中θ是未知参数（0＜θ＜1）.X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2，…，xn中小于1的个数．求：
（Ⅰ）θ的矩估计；
（Ⅱ）θ的最大似然估计．