2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（1）已知当x→0时，函数f（x）＝3sinx－sin3x与cxk是等价无穷小量，则
(A)k＝1,c＝4．(B)k＝1,c＝－4．(C)k＝3,c＝4．(D)k＝3,c＝－4．
（2）设函数f（x）在x＝0处可导，且f（0）＝0，则
(A)－2f′(0)．(B)－f′(0)．(C)f′(0)．(D)0．
（3）设{un}是数列，则下列命题正确的是
（4）设
，则I，J，K的大小关系为
(A)I＜J＜K．(B)I＜K＜J．
(C)J＜I＜K．(D)K＜J＜I．
（5）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．记P1＝
，则A＝
（6）设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax＝β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax＝β的通解为
（7）设F1（x）与F2（x）为两个分布函数，其相应的概率密度f1（x）与f2（x）是连续函数，则必为概率密度的是
(A)f1(x)f2(x)．(B)2f2(x)F1(x)．(C)f1(x)F2(x)．(D)f1(x)F2(x)＋f2(x)F1(x)．
（8）设总体X服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布，X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量
，有
(A)ET1＞ET2,DT1＞DT2．(B)ET1＞ET2,DT1＜DT2．
(C)ET1＜ET2,DT1＞DT2．(D)ET1＜ET2,DT1＜DT2．
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
（13）设二次型f（x1，x2，x3）＝xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x＝Qy下的标准形为_______．
（14）设二维随机变量（X，Y）服从正态分布N（μ，μ；σ2，σ2；0），则E（XY2）＝_________．三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分10分）
求极限
．
（16）（本题满分10分）
已知函数f（u，v）具有二阶连续偏导数，f（1，1）＝2是f（u，v）的极值，
．
（17）（本题满分10分）
求不定积分
．
（18）（本题满分10分）
证明方程
恰有两个实根．
（19）（本题满分10分）
设函数f（x）在区间[0，1]上具有连续导数，f（0）＝1，且满足
，
其中Dt＝{（x，y）|0≤y≤t－x，0≤x≤t}（0＜t≤1）．求f（x）的表达式．
（20）（本题满分11分）
设向量组α1＝（1，0，1）T，α2＝（0，1，1）T，α3＝（1，3，5）T不能由向量组β1＝（1，1，1）T，β2＝（1，2，3）T，β3＝（3，4，a）T线性表示．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．
（21）（本题满分11分）
设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且
．
（Ⅰ）求A的所有特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵A．
（22）（本题满分11分）
设随机变量X与Y的概率分布分别为__
且P{X2＝Y2}＝1．
（Ⅰ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；
（Ⅱ）求Z＝XY的概率分布；
（Ⅲ）求X与Y的相关系数ρXY．
（23）（本题满分11分）
设二维随机变量（X，Y）服从区域G上的均匀分布，其中G是由x－y＝0，x＋y＝2与y＝0所围成的三角形区域．
（Ⅰ）求X的概率密度fX（x）；
（Ⅱ）求条件概率密度fX|Y（x|y）．