力学和天文学研究（1664—1686）
牛顿关于力学的工作几乎贯穿了他整个的科学生涯，从1661年起断断续续地持续了三十多年。
《论重性和轻性》[48]可能是目前已知最早的牛顿的力学札记，出现于牛顿的三一学院笔记本中[49]。这篇札记提起了一种用机械论物理学解释重量的方案。他首先假定了一种粒子流，这种粒子流穿行于物体的孔穴之间。这种粒子流射向地球，向地球方向的快些，离开地球方向的慢些；向地球方向的粒子流将穿入物体内部的“孔穴”，离地球方向的则不，这种粒子流不同的作用机制引起了重力。
这一现在看来颇为费解的理论带有明显的笛卡尔物理学的色彩。事实上，笛卡尔正是用这种“孔”与“螺旋”的模型解释磁现象的。[50]而“重性”、“轻性”的提法则来自亚里士多德。就其行文而言，则更类似于玻义耳。[51]
牛顿接下来设计了一种他认为可以测量物体在不同的地方，“例如在山脚及山顶上”，不同的重性的仪器。在同一篇札记中，牛顿还提及了“托里拆里真空”，特别是引用了伽利略的落体实验。他记录道，“据伽利略，100佛磅（即78伦敦磅）的铁球下落100佛尺（或49.01肘，也许即66码）用时5秒钟。”[52]
这一则札记所提示的是牛顿关于力学工作的起点。而他以后的工作则更多地表现出了他的独创性。时间断在1664年元月起的第4004号手稿[53]常被认为上述3996号手稿后面最重要的发展。
手稿4004号是一本大笔记本，页码编到1194页。开头的地方有牛顿继父史密斯的手迹“1612年5月12日”以及不少关于神学的记录，但整本练习本的左页全是空白的，大部分右页也不过只写了一些神学札记的标题。所以，牛顿很可能在50年代继父去世时得到了这一本子，然后用它来作自己的札记。在封面上牛顿写了“Waste Book”两字，其意义至今未能完全明了。这份手稿“蕴藏有牛顿最早的科学和数学观念”，[54]并由科学史家作了系统的研究。[55]
对于这份手稿中的各个段落的准确写作时间，各家研究者尚有不同意见。但整本札记写于1664（或1665）年以后，则是各家一致的意见。
第1页上的一段文字引起了普遍的注意。牛顿在此讨论了运动的小球如何在“多边形的框”中受到约束，而其运动亦由直线、切向改变为封闭的折线。小球在边框上反弹的力亦可由此得出。牛顿接着假定，如果框的边数增加，变为例如6，8，12，100，乃至1000边形，乃至“无穷多边形（即一圆周）”，则由此可以得出作圆周运动的小球的受力情况。
这一段相对于其他手稿说来颇为成熟的文字似未经很多修改，并明显地是笔记本中另外一些文字如Ax.-Prop.20的后继文字，所以常被视为牛顿较晚的记录——尽管它被写在笔记本的第一页上。笔记本第10页标有“论反弹”的标题及“1664年元月20日”，这是一则研究碰撞的札记。牛顿在这儿研究了重量[56]与运动各各不同的两小球的碰撞前后的运动状况。这一论题简直和笛卡尔当年在《哲学原理》[57]里讨论过的一模一样，只是牛顿引入了更多的数学运算罢了。
这一页的反面牛顿写下了一些“定义”。这些定义表明，牛顿早期关于力学基本概念的来源主要还是亚里士多德（Aristotle）和笛卡尔（R.Descartes）。例如在定义“移动”时他写道：当一量通过或穿过延展（的空间），由一处立于另一处时，它被称为移动了。[58]另一引人注意的定义是“力”：力是一物施于另一物的压力或挤压。
紧接着“定义”，牛顿引入了一套“公理-命题”系统。牛顿表明，他在此时已有颇为完整的惯性定律的概念。公理1称：“一量一旦运动，将永不止息，除非有外因阻止之。”公理2称：“一量将常在同一直线上运动（不改变方位快捷），除非有外因改变它。”
公理4谈论运动与力的关系，或可视为日后的力的守恒定律的最朦胧的形式，“为消灭一物中某一定量的运动需要的力恰如要产生此量的运动所需要的力；而要产生之所需之力亦恰如要消灭之所需之力。”
公理20似乎是与前述“论反弹”密切相关的一段。牛顿用了环状约束来讨论小球的运动。牛顿断言如果没有这一约束，小球将作切向运动飞离中心，而由于约束物“不断地修正或反弹”，使小球离开它的切向，从而使小球作距中心的等距运动。
从这份手稿的第12页起，牛顿引进了一套二十二条公理，其中最重要的几条之间的逻辑关系，经J.Herivel研究，有如下一些要点。牛顿首先把前面的公理1和公理2写成一个公理的形式，即公理100：每一物均自然地保持其现有的状态，除非被某外因中断，由此得公理1及2，……这或许可以被当作一种牛顿自己的工作，因为在笛卡尔的《哲学原理》中，运动的“状态”以及这种“状态”将被“自然地保持”是分为两条公理叙述的。牛顿把它们合写为一条，这似乎表明牛顿当时已经认识到“状态”就是指“运动状态”，从而把笛卡尔的形而上学向力学推进了一步。
公理104：……这就表明运动物体中为什么有的需要更有力的或更有效的原因，有的则需要较弱的原因来阻止或帮助提高它们的速度。而这一原因的实际作用通常就叫作力。……
公理108被赫里维尔（J.Herivel）列作这一段论证的一个出发点，它指出：根据自然的启示，相同的力在相同的物体中引起相同的变化。从现在的物理学观念来看，本公理已经断言“力引起变化”了。换言之，这可视为第二定律在一特殊情况下的表述。公理111是上述公理的一个推论：“同理，物体a（=b）之快捷之于b之快捷等于a赖以运动的力之于b赖以运动的力。”[59]公理117几乎是公理111的一个逆命题，断言若力构成比例则“快捷”构成的比例与之相等。
公理118：若物体p由于力q被置于运动，而r由于力s被置于运动（各自速度是v和w），则有qrw=pvs。
对于现代读者说来，公理118较之前面的一些公理似乎更加费解。这是因为在上述研究中，力学过程、尤其是力的概念仍有待作进一步的阐发。独立于碰撞间的力的概念尚自阙如，是牛顿1661—65年间力学研究的一个引人注意的地方。
关于两物体的相互作用，牛顿在同一手稿中表现了相当成熟的认识。公理121旁的页边上写着：“关于被反弹的物体中的相互作用力。”公理本身则多少类似于日后的牛顿第三定律：……而因此，它们〔案指碰撞中两物体〕在它们的运动中一定承受了相同的相互作用。”[60]牛顿对此一公理的说明更清楚地阐明了他的Mutation的意义，“如果两物体p与r相遇，各自的阻力相同：p之给于r多少压力，r亦给p相同的压力。”这简直就是第三定律了。
从手稿4004中所看见的，是牛顿力学最初和最原始的形态。不仅如上所说力的概念尚自有待明确，其他的用语亦多有不达。牛顿运用了颇多的日常词汇来谈论力学，这使得他的手稿非常难懂。因为这些词汇不仅不精确，而且往往有很多歧义，在语录式的手稿上，很难作细致的词义勘定。但是这种用词上的令人困惑的情形，本身也是当时概念令人困惑的情形的反映。力学的下一步发展，将有待于在概念上的突破。另外，公理118也明白表示，当牛顿企图谈论力或运动的“变化”时，他的数学工具不够：比例和复比例在描写变化量方面显得非常笨拙。如果没有数学上的突破，力学的进一步发展也会成为一句空话。我们看到，1665—1675的十年时间，牛顿关于力学的研究竟可以简略地归入这两个方向，即概念和数学工具的发展。——牛顿当然不是有目的地这么去努力，而只是发展肯定了他的努力方向。
牛顿早年把力作为独立的物理作用，而不是仍在碰撞问题中才发生的物理概念，这样处理的几乎是唯一的佐证是一页手稿，编号MS 3958 f.45。从“字迹和其他迹象”[61]判断，这份手稿写于1665—66年。
这是一张带有两部分数字计算的草稿纸。牛顿的目的是估计重力与由于地球自转和公转分别产生的离心力之比。第一次估算此两比值分别为1∶3749和1∶144。他好像很快发现计算的结果不令人满意。现在尚未能断定他如何进一步完善此一计算的，“可能是因做了些粗糙的实验”，[62]他把数值修正为1∶7500和1∶300，——差不多比以前小了一倍。
这份常被称作Vellum手稿的文件的史料意义在于，牛顿对力的作用有了新的诠释。17世纪物理学一直在谈论作为“物体运动的力”，[63]这种力只是在碰撞过程中表现出来。现在牛顿开始谈论一种新的力的作用，用现代语言来说，则是“向心力”和“离心力”的平衡作用。这种新的作用形式出现在圆周运动而不是在直线运动中，其作用方式是超距的而不是依靠碰撞时的接触。
这就更明确地提出了关于力本身的问题。牛顿后来发表的《光学》中所附的疑问25—31记录了大量他对这一问题的思考，这种思考的主要来源是牛顿的光学和炼金术-化学研究。
问题25引述了冰洲晶石的折射现象，[64]接着讨论了当时流行的笛卡尔-惠更斯光学理论。该理论认为光是媒介的一种“激动”，这种媒质用笛卡尔的话说就是充斥于宇宙空间的la matière subtile。[65]但是牛顿在冰洲晶石的光学实验中所看到的，是一种“光本身的特性”，他从而考虑到了波动说的“一切假说”可能都是错的。牛顿当时一定觉得这种可能性很大，所以还特别引用了波动说的主要倡导者惠更斯的话，称对于所有已做的工作，还没有一样是令人满意的。[66]如果波动说不能成立，作为波动说所要求的媒介la matière subtile也没有存在的必要。疑问28进一步指出，如果行星和大小天体都是在以太充斥的空间被“拖曳”着运动，那么，一固体球只要移过“三倍于它直径的长度，就会损失它的运动的一半。”[67]从行星的运动来看，媒介不仅未能帮助运动，反而“妨碍”了、干扰了，阻滞了“巨大天体的运动”，使“自然界衰退下去”。所以，媒介不仅不必保留，而且必须被扫荡。
问题31紧接着正面探讨没有媒介情形下的力的作用。这是牛顿关于力学的研究中最困难、最重要也是意义最深远的一环。问题31的篇幅几乎等于其他三十个问题的篇幅的总和，而牛顿一开始就从化学问题入手讨论一种独立于碰撞过程，作为物体自身性质——而不是过程的性质的力。牛顿这样写道：“物体的微粒是否具有某种能力、效能或力量呢？”不然的话，为什么酒石酸盐会潮解，而食盐、硝石或矾就不会呢？是不是后者缺乏一种吸引力呢？为什么所有金属中铁是最容易熔解，又最容易生锈的呢？为什么盐溶于水而不溶于油呢？牛顿注意到两块磨光的大理石在真空中压紧后可以粘聚在一起，两块平摆在一起的玻璃，当彼此距离很小时，只要底边浸在水里，水就会在板之间升高，很细的玻璃管在一端浸在水里时亦有相同的效果。
牛顿引征了一个实验，将两块20—25英寸长的平板玻璃平行地放置，然后一端接触，另一端微微抬起，相对接触的那一端张一个10—15′的角。这时如果在角的内部滴上桔子油或松节油的话，油滴会向两玻璃接合处移动。牛顿写道：“这是因为两块玻璃板吸引了油滴，使之沿着吸引的方向驰跑的缘故。”[68]
这个实验在时间上属于18世纪最早的阶段，[69]当时第一个做这个实验的人F.Hausbee正在到处演示这一实验。牛顿引征这一实验，在于介绍他的“吸引力”概念——或许没有别的实验能如此形象地表现一物被另一物“吸引”的作用了。
牛顿不同于他同时代的其他学者，他只有数量相当少的关于力学的文字。在1669—79这十年中，他的注意力似乎也不在力学方面。现在可以比较容易地看到的、写作时间属于这十年的四份手稿表明，牛顿曾分别考虑过不少基本概念，也考虑过诸如圆周运动和摆运动这样的特殊事例。
《运动定律》[70]一文经霍尔（Halls）研究可能是这四份手稿中时间上最早的一份。[71]这份三页的稿子由小标题划为三部分，分别处理物体“如何运动”，“如何碰撞”和一个“一般评论”。这里牛顿似乎是第一次把“空间”、“速度”等基本概念作了尽可能一般化的定义。特别是第3条中提及了平行四边形法则。他还花了不少篇幅讨论今天称之为刚体的运动。
MS Add 3958，ff.90-1处理摆的运动，其时间很难定出，但一般以为在1673年惠更斯的Horologium Oscillatorium出版以后。牛顿在这里用不同的方法研究了惠更斯在上述著作中处理过的问题。另外一篇与此紧密相连的手稿，题为《论圆周运动》，[72]则引起了更多的注意。[73]这份手稿的年代颇难判定，从1667年到1671年都有可能，而通常大多数学者把它定在1669—71年之间。
这份手稿分为两部分。第一部分没有标题，但显然是理论部分，讨论作圆周运动的物体的“倾向”。[74]牛顿把物体飞离中心的倾向用图形表示出来。图形中的某线段DB是如果上述倾向“未被克服的话”而在非常短的时间段中物体D可能离开圆周的距离。然后牛顿通过比例运算，求出以图形中的其他几何线段表达的DB。他进一步说明，DB就是由于“上述倾向”造成的结果。
这一处理方式表明牛顿当时的分析方法基本上还是笛卡尔式的。尤其有趣的是，他竟然得出了向心加速度而并没有理解离心力：[75]牛顿便在重力或“引力”的概念中用了“力”（vis）一字，而在谈论运动物体时，全还是“倾向”概念。
但在第二部分，标以“推论”的一段文字中，牛顿迅速把他的上述分析推广到月-地系统中去。他所用的地球半径（据推算）是3313英里，所以推算出来的，相当于今日物理学所谓的重力加速度是27英尺/［秒］2，较之实验值32英尺/［秒］2小了16％多。
这份手稿表明，牛顿当时显然没有后来非常重要的平方反比的作用概念，也没有万有引力的概念。但是重要的是牛顿已经力图利用力学来解决月-地系统的运动问题了。
写于同一时期的《论重力和液体的平衡》[76]表现了牛顿在澄清力学基本概念方面的真正异乎寻常的努力。这是一篇很长的札记，而其四分之三以上的篇幅在研究今天看来几乎是哲学的概念。牛顿在一开头写道，“量”、［时间的］“延续”和“空间”三个术语全为人了解而不能用别的词来定义了。——他后来显然改变了这个先入之见而重新讨论了“空间”这一概念。接下来是四个定义，谈什么是“物体”，什么是“位置”，什么叫“静止”，而最后，运动被定义为“位置的改变”。牛顿花了很长的一段文字来阐发他的这些形而上的观念。这种阐发是建立在批判和摧毁笛卡尔观念之上的。牛顿指出，笛卡尔的理论是“荒谬的”，不仅推理混乱，而且也不合于事实。从笛卡尔理论的推论推开去，牛顿还列举了八个方面的论证说明笛卡尔“荒谬”。接下来牛顿正面立论，为他日后的世界体系建造一个赖以生存的“空间”。他从六个方面立论。首先空间可被分割为部分，“其极限即通常所称的面”；这些面又可被分为部分，“其极限即通常所称的线”；这些线又可被分为部分，“其极限即通常所称的点。”[77]然后空间是无限伸展的、本身不运动的。通常所说的牛顿的“绝对空间”概念在此微显端倪。牛顿定义，所有的“位置”、“距离”、“局部运动”之类的观念，都是以空间为参照的，空间在时间上是永恒的；并且没有任何东西可以存在于空间之外。空间可以独立存在，但任何存在必须以某种方式存在于空间之内。
那么“存在”是什么呢？牛顿接着写道，存在就是“不比物体更不实在的东西”，或者它们“很可以被叫做物质”。牛顿利用亚里士多德的materià prima（元物质）的概念进一步阐发了他的物质概念。物质和空间的这种联系的合理性是由大段的关于上帝和创造的讨论保证的。(https://www.daowen.com)
这些基本概念对牛顿造成的困惑可以从他的文字的繁缛和艰深晦涩看出来。在有了空间，有了物质以后，牛顿转向了“力”：
定义5：力是运动和静止的根本原因。接下来五条定义分别谈论不同的力：“倾向”（Conatus）、“冲力”（Impetus）、“惯性力”（Inertia），以及压力、重力。
力怎么测量呢？牛顿接着定义了力的“强度”Intensio和“延展”（Extensio），前者是力的“量的程度”，后者则是其“作用的时间或空间之量”。力的“绝对度量”即是两者之积。
手稿的最后部分定义了“刚体”、“液体”。在手稿的差不多最后一页，突然出现了两条公理，其重要性决不在上述定义之下。第一条公理断言“相类似的条件导致相类似的结果”[78]，第二条断言“物体在相互接触中各自对对方的压力相等”。
这四篇手稿表明，1666年以后，牛顿似乎并没有像最初史家推想的那样中断了二十年，[79]而是仍在力学方面工作。上述手稿中所表现出来的困难和由之而来的困惑，是牛顿没有马上发表他的力学工作的一个原因：他既不能一蹴而就地建立完满的理论，他也就不愿意发表他正在进行中的工作，以免被别的作者“剽窃”。——这是牛顿时代大家最担心的事。[80]同时，光学、数学和炼金术的研究也占去了他太多的时间；母亲汉娜的去世也使他不能专心工作。一直到1679年年底，他的注意力才由于一个相当偶然的机缘重新集中到了力学、尤其是行星运动的力学分析上。
1679年11月24日，当时的皇家协会秘书罗伯特·胡克致函牛顿，呼吁抛弃前嫌，言归于好。除了解释当年关于光学的争论并把双方的不快归为“有些人在你面前说了我的坏话。”[81]在信的后半部，他向牛顿通报了他“最近的”一些想法，特别是把行星的运动视为一个切向运动和一个指向其运动中心的运动的合成。对于绕地运行的物体来说，后一运动就是指向地心的。牛顿在四天以后复信，但没有提及胡克的这一对于日后行星运动理论极为重要的分析，而转向讨论物体的下落。牛顿设想了一高悬于地面的物体，一旦失去约束开始下落，由于其距地心的距离大于地表物体，而又以相同的角速度绕地心旋转，这一物体的切向速度将稍大于地表的由于地球自转引起的切向速度。在下落过程中，这一切向速度将保持，从而使此一物体移向其竖直向下的投影点偏东的地方，如果它能穿过地表，落向地心，这一物体将划出一条螺旋形的线。
这实际上是径向速度远远大于切向速度的一种极限情形。牛顿是把胡克的分析用于这一事例呢，还是他完全没有了解胡克方法的意义，自己另搞一套，现在无法判断。12月9日胡克回信，对牛顿的分析表示赞赏，并作进一步修正。胡克说，他的圆周运动理论表明下落轨迹全然不是螺旋线形的，而应该有点像椭圆，绕着中心转若于圈后再落入中心。12月13日牛顿回信，对胡克的修正表示赞同，并且进一步得出结论说，依照这样的分析，重物“将为其离心力和重力的交替控制之下，交替地上升和下落，作绕行。”次年元月6日，胡克复信，同意牛顿对作用力的分析，接着指出牛顿把重力当作一恒定力是不对的，“而我的假定是吸引力常与距中心的距离成平方反比，因而速度将与吸引力的平方成比例，即与距离成反比——一如开普勒所假定的那样。”
对于胡克上述通信在牛顿日后的工作中所起的作用，各家说法不一。[82]牛顿也未对此信作出答复。[83]元月17日，胡克再次致函牛顿，正面提出了问题：“现在仍旧未知的是那一由中心吸引力产生的曲线的性质，这种中心吸引力使物体从切线上（亦即直线运动上）常以平方反比于到中心的距离的比例下落……”胡克紧接着写道：“我决不怀疑你能用那绝妙的方法（案指流数法）发现这曲线为何，其性质为何，并提出这一比例的物理原因。……”[84]
问题已经明确提出了，牛顿仍旧没有回信。1680年下半年起，接连有两颗彗星出现，牛顿很认真地研究了它们，并和当时最著名的天文学家弗拉姆斯蒂德（J.Flamsteed）通信，讨论彗星回归。但牛顿没有提出他的看法，只是反驳了弗拉姆斯蒂德提出的一种利用磁性来解释运动的理论。[85]1682年，后来被叫做哈雷彗星的大星出现，牛顿亦做了详细的记录。[86]但是，他似乎没有全力投入把他的研究系统化、理论化、撰写成书的工作。一直到1684年8月，他的好朋友哈雷向他提起皇家学会同人讨论行星轨道的问题，并要求他把他的研究结果写出来以后，他才真正动笔写作。[87]同年11月，一篇题为《论运动》的手稿，通过佩吉特（E.Paget）转到了哈雷处并送往皇家学会备案。这是牛顿第一次系统地处理力学问题，并常被视为《原理》的早期准备工作之一。
《论运动》有五个抄本传世。其中三个抄本约略近似，常被含混地称为De motu；[88]另一个抄本据传时间较前三个晚一点，大概写成于1685年3月前的某个时候，内容似较前三个完整，是牛顿后来递交皇家学会的，常被称作Propositiones de motu。[89]此外，还有一份题为《论物体的运动》的手稿，残存三页多，似为De motu的开头部分的草稿。除这五份之外，还有一份未被描述也未被科学史家阅读过的草稿在Shirburn城堡。
《论物体的运动》包含五条定义。开头是“物质的量”和“运动的量”：“物质的量产生于其比重与大小之联合，……此一量我常以物体或质量之名称之。”[90]质量是17世纪力学家所遭遇的最困难的概念之一。牛顿的此一陈述在他本人以前的工作中未见先例，但很可能来自对法国物理学家、航海家里歇（J.Richer）的《观察》一书第十章某些章节的分析。他后来在《原理》第3篇命题20中提及这一工作。《论物体的运动》后面残存的三条定义都是关于“力”的，分别处理“物质的惯性力”，“冲力”和“向心力”。在De Motu中对此三概念的定义大大简于本稿。牛顿详细定义了“物质的惰性力”（Materiae vis insita）或“惯性力”（inertia），称这是物体抗拒外来影响，保持其“或者静止或者匀速直线运动状态”的能力。他接着讲到Impetus，称这是运动物体改变另一物体状态的能力。——虽然他马上加上说明说“静止”和“运动”物体本身也是相对的。最后一个定义关于“向心力”，这是牛顿独创的一个重要概念：“向心力是一种作用或潜在作用，这一作用拖曳、迫使或以任何方式使一物体趋于一个作为中心的点。”牛顿列举了使物体趋于地心的重力、使铁趋于磁体中心的磁力等等。他最后郑重申明他所谈论的“吸引”、“冲力”等等都是仅仅在“数学上”而不是“物理上”谈论问题的。
De Motu最开头部分是三条定义，分别处理向心力，物体之力或“物体中的惰性力”，阻力。[91]与《论物体的运动》相比，没有“物质”和“运动”的定义，而后三条也大大简化。然后是五条“假说”，牛顿又称之为Lex（定律）。定律1即日后所谓的惯性定律，称“如无阻碍，物体将由其惰性力保持匀速直线运动。”回看定义2关于惰性力的定义，可见这两条的意义是逻辑上循环的。定义2称“物体因之保持其直线运动状态的力为惰性力”[92]。定律2几乎就是今日熟知的牛顿第二定律：“运动或静止状态的变化正比于所施的压力（vi impressae）并发生于此力作用方向之直线上。”后三定律所讨论的问题显然远非如“公理”那么明白易见，所以牛顿在稍后的《原理》写作中都把它们移到别的地方作为“命题”讨论去了。
再下是几条“辅助命题”（Lemmatas），后来所知的“平行四边形法则”为其第一条。除了从数学上作了解说之外，牛顿未对这一命题作任何物理上的解说或解释。这可能是由于当时这一结论已为研究者熟知，亦可能是因为他决心建立一种数学理论而避免任何形而上方面的讨论。第二条给出具体的分析指出由向心力造成的物体移动在开头时正比于时间的平方。以后两条均是数学方面的定律。
这份手稿中的引人注目之处除了上述“定义-公理”系统之外，是一套冠有小标题“论物体在无阻力介质中的运动”的定理。定理1即著名的开普勒面积定理。牛顿在这儿谈到物体由其“惰性力”作直线运动，而向心力在B点以一种“点射”的方式作用于它，于是它移到了C点而不是直线上的下一点c。下面即是众所周知的被费因曼（Feynman）称为“真正的物理的”证明。[93]这个定理后来以“命题1”的编号出现在《原理》第一篇第2节中。定理2称作圆周运动的物体所牵涉的向心力为其矢径扫过的弧长之平方。其推论5从开普勒第三定律推出：如运行周期的平方等于半径的立方，向心力与半径成平方反比。这是对行星运动规律中力的大小的第一次理论推算，后来牛顿把它作为《原理》的第一篇命题4的推论4。牛顿在紧接这一推论的评述中写道，这一推论的条件（案指3/2次幂）由大行星绕日运行和木卫星绕木运行得出，这一条件已被天文学界广泛接受。
定理3是一条重要的预备定理，从物理上看，其意义颇不易解，但为后面证明所必须。正是由这一条定理，牛顿断言，任何作曲线运动的物体，只要已知其运动轨迹，其所受的向心力即可推出。定理3由此显然可以被看作定理2在非圆曲线轨道情形下的推广。作为例证，牛顿在附于此推论的问题1，2，3中解出了在物体做圆周运动时对于圆周上另一点而言的受力情形，做椭圆运动时指向椭圆中心的力和指向其中一个焦点的力。这些工作日后都在《原理》中占重要地位。[94]特别是此处的问题3，实际上已经解决了做椭圆轨道运动的行星的受力情形。
定理4几乎是定理2推论5之逆：如果力是与距中心的距离为平方反比的，那么运行周期与椭圆轴成3/2幂比例。两者不同之处在于，牛顿在定理4中已把运动轨迹推广到了椭圆。这一定理后来作为命题15出现在《原理》第一篇中。牛顿在这一“论无阻力运动”的部分的最后加上了两个处理复杂运动情形的问题之后，[95]就转而讨论在有阻力的介质中的运动情形了。
问题6和问题7描述了物体在有阻力情形下的运动和圆周运动。较之“无阻力”运动的片断，这部分显得简单得多。
De motu手稿之所以受到重视，并且被仔细地分析，是因为科学史家相信，这是《原理》一书最早的构想，或者可以说是《原理》的一个纲要。这不仅是因为De motu已经包含了《原理》所包含的最重要的定义、公理和定律，而且两年后完成的《原理》前两篇表明，从整个结构和论证线索上说，De motu似乎也是《原理》的原型。[96]
可能是出于哈雷的要求，牛顿决定把De motu发展为一本完整的书，写作时间当在1685年2月到1686年4月之间。简直没有什么关于牛顿写作《原理》情形的史料留下来。在此期间，他好像极少和别人通信，也没有做很多的札记。原始材料仅为今存于皇家学会的一份460页的抄件，为汉弗莱（Humphrey）的笔迹，有牛顿与哈雷的修改字迹，但肯定不是原稿。
1686年4月21日哈雷通知皇家学会牛顿关于运动的论文已准备就绪，4月28日，皇家学会收到牛顿的手稿，是为今日所见的《原理》的第1篇。该书的第2篇和第3篇稍后在1687年3月1日和4月4日送交皇家学会。
《原理》初版的发行日期常被定作1687年7月5日，是日哈雷向牛顿寄送了40本刚刚印好的书。这是由哈雷出资印刷的，当时大概印了300—400本。[97]每本售价7先令（未装订本）。这个版本现在还有187本散见于欧洲和美国的图书馆，另外两本分别在澳大利亚和南非。[98]这一版在牛顿生前曾两次修订。第二版由科茨（R.Cotes）主持，1713年7月11—14日出版，第三版由彭伯顿（H.Pemberton）主持，1726年3月31日出版。第一版序言未署作者姓名，第二、三版均有牛顿署名的前言。三版的主要内容差不多一样，不同之处仅在于第3篇的“推理原则”和“总注”部分。
1727年3月，牛顿曾与他的第三版编者彭伯顿讨论过由后者主持出版英译本的问题。但第一个，也是迄今唯一一个英译本为莫特（Motte）兄弟完成出版，他们在与彭伯顿的翻译竞赛中捷足先登。1930年，瑞士出生的美国加州大学教授卡焦里（F.Cajori）修订了这一英译本。这一英译修订本于1934年出版，并成为现在通用的《原理》版本——尽管专家批评这个本子“既非牛顿原版又非忠实的现代文转译，因而既不能满足现代读者也不能满足历史学家”[99]。
《自然哲学的数学原理》一书分为三篇。三篇之前冠以八条定义，一条注释scholium和三条“运动公理或定义”。第1，2两定义处理“物质之量”和“运动之量”，与De motu中的表达相比，唯强调了此量是一量度结果。例如定义二论“运动之量”为“运动之量即对该量的度量（mensura ējusdem），此一度量由速度与物质的量相联合而产生出来（orta）。”[100]接下来的六个定义讨论力，即“惰性力”、“冲力”和“向心力”，以及它们的度量。把惰性力与冲力分开讨论似乎来自17世纪的力学传统，而牛顿在稍后又明白指出，“这种力的作用既可视为阻抗，又可视为冲力……”[101]定义5—8处理向心力，占定义总数量的一半，而篇幅更占四分之三以上。定义8之后附有很长的说明，牛顿在此声称他的理论是为了给出一个这些力的数学概念而不是物理原因。定义之后有一长篇的“注释”，研究时间和空间。世称牛顿的“绝对时空”即见于此。
与定义并列的是一套三条“运动的公理或定律”，即现在以牛顿命名的三大定律。细看这三条定律，第一条早已被笛卡尔表述过，[102]牛顿最初是在手稿MS 3970，f.652a中提到这一定律的，并把它归于阿那克萨哥拉（Anaxagoras）、亚里士多德和卢克莱修（Lucretius）。[103]牛顿自己最早的表述是在他的早年笔记本中，这已在前文中讨论过了。定律二的最早形式见于Waste Book的公理120：“物体必在其被压方向上移动。”另外一条与之相关的早期记录是“［物体］运动的变更与引起这一变更的力成正比。”[104]其比较接近《原理》正文的表述见于De motu，上文亦作了讨论。定律三即今日的“作用-反作用定律”，亦见于Waste Book，定义七和定义八，以及公理119和公理121。很多研究者认为，定律三中牛顿自己独立创造的部分最多。
三大定律后附有六条“推论”，包含平行四边形法则，动量守恒定律。牛顿接着花了很多篇幅讨论第二定律，他还设计了一个实验，这一实验曾由伽利略、马里奥特（Mariotte）做过，但牛顿的装置和做法更精巧，并计入了空气阻力造成的不准确因素。
《原理》第一篇冠有“论物体的运动”的标题。第1章（section 1）是数学准备，与各章体例均不同，问题的标目也用“辅助命题”（Lemmas）而不是如后文所用的“命题”（Proposition）；第2章以讨论开普勒运动为起点并含有关于开普勒行星运动规律导致力是平方反比的著名论断，命题4推论6，第3章证明，做圆锥曲线运动的物体都受平方反比的向心力的影响。命题11证明，如运动轨迹是椭圆，则牵涉的向心力是平方反比力。这就是1684年秋天哈雷最初访问牛顿时带来的问题的逆命题。牛顿花了22行的文字，简单明了地把它解决了。——他甚至还提供了第二种证明方法。命题15则更进一步以七行的篇幅证明了，在这一情形下，作椭圆运动的物体将表现出开普勒当年从观察中得出的3/2次方规律。至此牛顿给出了他的行星运动理论的大部分最精粹的内容。
以下第4章到第11章分别发展和完善上述结论。4、5两章讲如何算出行星运行的轨道；第6章处理“开普勒问题”，回答了“在任一指定时刻如何算出在一给定椭圆上运动的物体的位置”，这样一个在天文学上有重要实用价值的问题（命题31）。第7章似乎是一个独立于整个线索的章节，牛顿在此讨论了直线运动的物体。第8章把向心力的作用规律一般化，讨论“任何一种向心力”，第9章讨论轨道也在绕引力中心转动的物体。命题45给出了计算近圆形轨道的极点（apsides）的运动情形。通过相当繁复的计算，牛顿得出，一物从远日点（upper apse）出发，将经过180°45′44″的角运动达到近日点（lower apse）。第10章把讨论扩展到非共面情形，第11章进一步把讨论精确化。鉴于以前均把重力中心作为不动原点的做法导致不精确结果，命题57处理环绕共同质量中心的两物体的运动，而命题56及其所附的22条推论则构成了牛顿解决三体问题的最初尝试。第12章为以前的把质量和引力均视作集中于一点的做法提出证明。命题75断言对于匀质球而言，其引力行为与质量全部集中于球心一点的力学系统一样。
第一篇在篇幅上几乎占了全文的38％。通过本篇的98条命题，牛顿完整地建立了他的力学，并从理论上解决了如何处理行星运动的问题。第二篇较短，占全书30％弱，处理有阻力情形下物体的运动，不少人认为这一看来似乎应该仅为第一篇附录的内容之所以会被牛顿设计为一个独立的章节，与力学的基本定律、世界体系的解释鼎足三分《原理》的主要篇幅，是因为当时物理学界状况的要求。要证明、要使人信服牛顿的“新力学”，必须费很大力气批判当时流行的笛卡尔关于la matière subtile的理论。第二篇即担负这一任务。第1—4章讨论阻力的性质以及如何用数学方法分析它们；第5章讨论流体静力学，第6章讨论摆在有阻力情形下的运动。
第三篇冠以“世界体系”的标题。这一篇的结构不同于上两篇，一开头有“推理原则”，接下来有“现象”，再下才是“命题”。这一结构上的变动可能与本篇的任务有关。从本质上说，本篇是第一篇所述诸理论对于行星运动的应用，而从目的上说，本篇则是对于那些“不懂数学而又自称是哲学家的人”的回答。[105]
“现象”1—6可以分为两组：1，2，4三条分别叙述木、土星的卫星和一般行星的3/2次方规律；5，6叙述行星与月亮的等面积定律；而“现象3”独成一条，断言行星绕日运行。显然，前两组是开普勒的工作，第3现象则是哥白尼的理论。
第三篇不分章，“现象”之下连列36条命题。命题1—3论木卫诸星，诸行星与月亮均受平方反比力的支配，命题4即著名的“月-地检验”的正式陈述。命题5的注释牛顿把他一直用数学语言谈论的“向心力”归为与“引力”同一的力，命题7断言引力大小与物体所含的物质的量成正比。命题8—19谈论行星轨道的特征，命题20谈论地球各外重量之不同，从而结束了17世纪学者对于重量和质量的长期困惑。命题22到35讨论月球，命题36讨论太阳引起的潮汐，命题37讨论月球对潮汐的作用。
第三篇的最大特点是引进了大量的经验材料，从而把《原理》与现实世界联系起来。另一方面，第三篇又包含了大量的理论推算数据与观察事实的比较，特别是引用了1680年12月12日起弗拉姆斯蒂德对于一彗星的观察。这一段被称为“例子”的文字，占第三篇篇幅的五分之一，成为第一篇所提出的理论，第三篇对此一理论的应用的重要支柱。
1710年8月，伯努利（J.Bernoulli）发现《原理》第二篇命题10处理有阻力运动的证明有误。这一消息通过N.伯努利传到牛顿那儿。[106]牛顿立即作了修改，另于1713年元月6日把新的证明交给了第二版的编者科茨。第二版《原理》即改正了这一错误，但未对伯努利表示任何谢意。
一个更严重的问题发生在《原理》的核心部分第一篇第3章。命题11证明了，如果有椭圆轨道的话，力应当是平方反比的。但是，这并不等于说回答了当时最重大的问题即如果力是平方反比的，那么行星应沿什么样的轨道运行。《原理》第一版在命题13推论1中作了回答，可是没有提供证明。这一问题亦由伯努利指出。牛顿在1709年10月曾向科茨提过类似的问题，并提出了一些他的想法。[107]在稍后的命题17中，他还讨论了“如果向心力是平方反比的，那么在什么条件下轨道将是椭圆、抛物线或双曲线。”——但他始终未能给出一个正面的回答。
真正正面的证明由法国人伯努利与赫尔曼（Hermann）完成。他们的证明基本上是从牛顿的《原理》第一篇命题41演化出来的。牛顿为什么始终没有作出这一证明至今令人困惑不解。[108]
1687年《原理》发表以后，牛顿实际上再未在力学方面做任何重要的工作，但他并没有停止工作：因为他的工作本身就不是我们今日所称的力学所能概括或限制的。天体运行的图景已经被揭示出来，现在牛顿所要做的，是对他所用的方法以及这一方法所揭示出来的图景作进一步的说明。
