五、能量量子化
但是，普朗克内插的结果（6），毕竟只是一种“幸运的猜测”，要使之成为严谨的理论，普朗克进行了他“一生中最艰苦的工作”[17]。从分析L.Boltzmann的熵定义S=klnW，他发觉，必须假定能量U是分立的，即U=P∊，P是整数，而∊是分立的、等量的、有限的能量元。
普朗克作出这一假设的心理原因及细节，至今仍未能完全明了。一方面，他曾称这是“一个绝望的行动”[18]；另一方面，他又曾向他的儿子吐露过他认为他已完成了一项或许只有牛顿的工作才能比拟的发现[19]。
虽然如此，我们对这一天才见解还可以寻得如下线索。
在探索辐射公式时，普朗克着重研究了熵的概念。1900年9月在亚亭他曾与Boltzmann交谈[20]，但很不幸，其内容未能记录下来。然而这一神秘的量在其本身意义尚未得到完全阐明时即已给了普朗克这么大的成功，看来深入研究其原因肯定不无意义。
E.Mach对能量的研究予普朗克以重要启发[21]。Mach指出，所能被谈论的，并非能量本身而是能量的差。普朗克认为，熵也是一样，按Boltzmann的见解，是一种几率的量变。于是“引入适当的熵的绝对值是有用的，理由是靠它的帮助可以特别容易地建立相当的普遍定律”。
把熵理解为绝对量的努力导致了能量子的假说[22]。把P个能量元∊分布在N个振子中，Boltzmann的热力学几率W是(https://www.daowen.com)
由Stirling公式
微分此式并注意
=
可知
要使后一式与Wien定律U=νφ（
）的要求相合，必有∊为ν的常数倍，普朗克记之为∊=hv，比例常数h称为作用量子（现称普朗克常数）。普朗克还算出h=6.55×10-27尔格·秒（目前最好的数值是6.626×10-27尔格·秒）。同样利用（1）uν=
ν2U可得
这就是今日熟知的普朗克公式。M.Planck向德国物理学会宣读这一结果的日子，1900年12月14日，按照M.von Laue[23]1947年10月7日在哥廷根Albani教堂普朗克的葬礼上说法，是“量子论的诞生日”。
