爱因斯坦关于黑体能量涨落的理论

5.爱因斯坦关于黑体能量涨落的理论

设想把一个能量为E的孤立系统分为两个部分，这两部分具有的能量分别为E1和E2，而E1+E2=E；它们的熵也同样如此，S1+S2=S。在处于平衡状态时，对应的量标记为，，，。我们定义：E1-=ε=-E2，再假定这个系统的第一部分比第二部分小。

我们把熵展开为ε的幂级数

在平衡条件中，系统的熵为最大，ε的系数为零。这个条件意味着：

由温度的定义可知，这两部分的温度是一样的。(https://www.daowen.com)

在ε2项中得出：

这里我们假定第二部分比第一部分大得多。因此这部分具有大得多的热容量。而且，定义dE1/dT1=Cv，1，这里的Cv，1是第一部分的热容量。最终我们删去脚标1，因为它是多余的。

玻耳兹曼的关于熵和几率的关系给出能量涨落为s的几率。

对于<ε2>，我们得到：

上式中积分都是标准形式。积分后得到：

这个结果可在爱因斯坦1903年的论文中找到。这里我们把它用于黑体辐射问题上。普朗克公式给出了体积为V，频率间隔为Δv时的能量E。我们通过用T求导来计算热容量Cυ，并将结果代入方程式（1），得到：

第一项VΔvu（v，T）hv是体积为V，频率间隔为Δv中的总能量乘以hv。如果把这个能量用hv能量量子化的话，则在这个体积中具有E/hv=n个量子。该能量的平方涨落<ε2>=n（hv）2。这个表示式反映了一种极端的微粒说观点，是在接近维恩定律的有效限度范围内得到的涨落。第二项是波的干涉引起的结果，是在接近瑞利-琼斯定律有效的有限范围内得到的。正确的普朗克定律是包括这两项的完整公式。