揭开原子的量子秘密
1912年7月底，玻尔回到哥本哈根。8月1日，他与玛格里特（Margrethe Nolund）完婚。本来打算去挪威度蜜月，由于怕耽误关于α粒子论文的发表，玻尔临时改变计划到了剑桥。在蜜月期间，玻尔完成了论文《带电粒子穿过物质减速的理论研究》。在卢瑟福的帮助下，这篇论文于1913年在《哲学》杂志上发表。回到丹麦，玻尔在赫勒乌普（Hellerrup）大学找到一份无薪讲师（privatdozent）的工作。讲授基础物理花去了玻尔不少时间，为了兼顾原子物理学研究，他不得不另挤出时间，人们常看到他骑着自行车来回奔忙。
这一时期，在玻尔的头脑里总盘旋着一个问题，这就是卢瑟福原子模型的稳定性。经过思索，玻尔得出了两个关键性的结论。一是经典理论在原子尺度上不再适用。根据麦克斯韦电磁理论，电子绕核运动相当于环状电流，一定要向外辐射电磁波，随着能量的释放，电子的轨道半径必然逐渐缩小，最终不可避免地要陷入到核中。然而，这样的事并没有发生，所以必须首先承认原子是稳定的。应用牛顿力学和麦克斯韦电磁理论不能解释这种稳定性，这表明经典理论不再适用于原子。另一个关键性结论是原子的辐射能量是量子化的。既然牛顿和麦克斯韦理论不再适用，玻尔把目光转向了普朗克和爱因斯坦的量子说。他认为，热辐射与光辐射都是量子化的，原子辐射和吸收也可能是量子化的。经过计算，玻尔发现，当原子的电子数大于7时，正好使一个电子容易离开这个原子，而7这个数正好接近元素周期表的周期数8，由此造成元素化学性质的周期性，这说明核外电子并非均匀地配置在核的外围，而只是集中在几个特定的圆轨道之上，并且元素的化学性质就取决于最外层的电子数。
玻尔的这两个假设非常大胆，因为它们将招致一系列疑问：为什么电子必须有特定的轨道？为什么在特定的轨道上电子能处于稳定状态？为什么在这样特定的轨道上运动，电子不再遵守经典规律？由于超越了经典物理的限制，他的这两个假定不仅没有给经典物理添砖加瓦，反而带有一定的破坏性。它带给当时的物理学界无疑是“天塌地陷”。然而事后的发展证明，这两个关键假设犹如“神来之笔”，把玻尔的思考指引到一个正确的路线上来。
在上述两个假设之下，玻尔在卢瑟福原子核模型的基础上，建成了量子化的新原子模型。他希望尽快地把这一想法发表出去。他在写给卢瑟福的信中说：“我打算在几周之内完成这篇论文。”［16］卢瑟福感到了玻尔的焦虑，劝他说：“完全无须因为急着发表给自己压力，似乎没有人在做这方面的研究。”［17］卢瑟福的话有一半是对的，玻尔还需要做些深入细致的考虑。于是玻尔开始着手相应的计算，以证实实验数据，然后再把论文发出去。但是几周的时间过去了，玻尔没有取得任何新的进展。他渐渐疑惑起来，不再那么自信。此外，繁重的教学也使他不能集中精力。在不得已的情况下，他请求学校准许他休几个月的假。(https://www.daowen.com)
就在这个关键时刻，玻尔看到了剑桥的尼克尔森（John Nicholson）的一篇文章。尼克尔森也在做着类似的研究，并试图建立一个新的原子模型。尼克尔森认为，尽管各种元素彼此不同，但是原子的造型只有4种，每一种造型都是由原子核和核外不同数量的电子组成，这些电子的运动形成绕核的圆环，各种不同的元素就是由这4种“原子造型”，按照不同的组合方式形成的。卢瑟福对此很不以为然。他说，尼克尔森给原子制造了“一个可怕的阵列”，但玻尔却从中找到了一个支持自己理论的关键点，这就是，原子之所以能处于稳定态，是因为电子能占据特定的轨道。在对电子运动进行量化时，玻尔认为关键量是电子的轨道角动量。如果用L表示，它应该是电子质量、运动速度与轨道半径之积。由于轨道的量子化，角动量也是量子化的。玻尔从尼克尔森的推导得出，电子的角动量L应该是
的整数倍。于是玻尔得出结论，只有电子的角动量满足这一条件，才能保证原子的稳定性。
按照这个结果，玻尔找到了一组轨道，计算出每一个稳定态的能量值。他令能量状态数为n，所对应的能量为En，n为从1开始的正整数。就氢原子而言，当n=1时，能量值最低，此时电子处于第1轨道，玻尔称它为基态，计算出的对应能量为-13.60eV，如果电子处于其他轨道，玻尔称它们为激发态，所对应的能量为En（n大于1），En的值是基态能量E1的
因此第一个激发态的能量为n=2，E2=
按照这一模型，玻尔计算出氢原子的半径大约是5.3nm（1nm即1纳米，等于1米的十亿分之一），这个数据与当时的测量值很相近。此外，玻尔还得出，电子的轨道半径以基态轨道半径为标准，以n2的系数递增，若基态半径为r，则激发态的电子轨道半径将依次递增，当n=2，半径4r；n=3，半径9r；……
得到这些结果，玻尔很兴奋，在写给卢瑟福的信中说：“我希望很快能把论文寄给你。这篇论文花的时间比我预想的要长得多，然而我相信，最后还是取得了一些进展。”［18］这封信发出几天以后，玻尔又抓住了另一个关键点，最终完成了量子化原子模型。
