量子力学的突破性进展
1924年3月，玻恩哮喘病发作，两周之内不能工作。此时，海森堡第一次去往哥本哈根访问玻尔。在他回到哥丁根时，带来了哥本哈根的一个新理论，这就是由玻尔、克拉默斯和斯拉特联合提出的Bohr-Kramers-Slater理论，简称BKS理论。
BKS理论原是回应康普顿效应提出的。它认为，原子在做激发态辐射时，内部发生着一种类似经典振子式的振荡，他们把它叫作“虚拟振子”。这种振荡具有所有可能发生的辐射频率，并以光量子的形式把振荡能量发射出来。在每一次光量子的发射和吸收过程中，其能量与动量并不守恒，只有在大量光子辐射的统计意义之下，其能量、动量才保持守恒关系。从BKS理论中，玻恩敏锐地嗅到了一种新的思想，他写信对玻尔说：“尽管我只是听到海森堡带回来的口信，但是我确信，你们的这一新理论一定触及到了某种‘真实’的所在。”［59］
同年7月，在BKS思想的影响下，玻恩发表了一篇“关于量子力学”的文章，这篇文章为即将成型的新学科首次提出了定型的名称“量子力学”，虽然他也引用虚拟振子代替了原子，但与BKS理论有重要的不同。他指出，当振子在两个能态间变换时，由于始态和末态的不同，频率也将随之发生变化。利用傅里叶展开，他对频率的变换做出了分析，躲开了使BKS理论致命的能量、动量不守恒的陷阱。玻恩的这一结果，把处于初期发展中的量子力学，又向前推进了一大步。
恰在此时，约旦来到了哥丁根，这位新助手的到来使玻恩如虎添翼。约旦是受洗的教名，在基督教为主的世界里，这个名字听起来很奇特。后来他告诉玻恩，这个名字来源于他的西班牙籍祖父。他的祖父曾跟随拿破仑打仗，后来定居在德国，约旦就在德国长大。他是个既精通物理又精通数学的少年奇才，比海森堡小两岁，虽然在研究思想上极为活跃，为人却很木讷。
约旦先帮助玻恩撰写大百科全书中的文章，接着又参与了玻恩新的研究课题，这就是从普朗克的初级量子论出发，引入新的变量研究原子的碰撞。经研究发现，原子的量子跃迁几率与所观察谱线的强度，也就是谱线振幅的平方有关，他们认为，这个关系一定可以从数学理论中推导出来。其实，这就是后来量子力学矩阵理论中位置与动量因子所表现出来的关系，它正是新理论的核心。遗憾的是，玻恩和约旦没有在这个方向上继续坚持，从而忽略了以后的重大发现。
正在量子理论处于突破性进展的关键时刻，海森堡从哥本哈根回到哥丁根。他利用虚拟振子研究氢原子，也采用了傅里叶分析，将非周期振子的振动分解为一系列周期函数之和，从中找到量子振动位置与动量因子间的关系。他发现在这些关系中，出现了一个奇特的性质，这就是因子间的乘积关系不符合交换律，更令他感到失望的是，在推算结果中并没有出现关键的普朗克常量，这使他对这个结果表示怀疑，认为这不是所要找的量子力学关系。(https://www.daowen.com)
当玻恩与约旦完成了非周期过程论文时，海森堡因为枯草热病发作，在海尔哥岛（Helgoland）休假。在休假中，他突然意识到，能量守恒一定是解决问题的关键，靠着这一思想的指引，他很快地利用叠加法则找到了谱线与观测值一致的结果。这年7月10日，因为拿不准这个结果该算什么，海森堡把它拿给玻恩看，询问他有无发表的价值，与此同时，他还给泡利寄去了一个副本，接着，在玻恩的允许之下，他到剑桥讲学。他万万没有想到，此时量子力学正处于关键发展的前夜。
看到海森堡这篇论文，玻恩很快发现，其中所得到的位置与动量因子的变换关系实质上是一种矩阵关系，在矩阵因子乘积不符合交换律的关系中，隐藏着一个惊人的结果，经他和约旦的计算，在乘积与乘积顺序倒置之差恰好出现了普朗克常量，即，
其中p是位置因子矩阵，即p=［p，H］，q是动量矩阵，即q=［q，H］，H是量子体系的哈密顿矩阵，I代表单位矩阵。公式中所赫然出现的普朗克常量h令玻恩异常兴奋，他意识到这正是他和约旦梦寐以求的东西，这一发现意味着在关键理论上跨越一大步，无论在概念上，还是在其数学关系上，这一进展都将对未来几十年的物理学有重要影响［60］。
玻恩立刻与约旦把这个结果总结出来，前后仅用了两周的时间，就确定出量子力学的矩阵力学理论形式，并于1924年12月27日把这篇论文寄往《物理学杂志》（Zeitschrift fur Physik）［61］。后来玻恩回忆那一时期时说：“我白天不停地研究，夜里也睡不着觉，我意识到，一定有更深层次的东西隐藏其中，它将为我们多年的奋斗吹起胜利的号角。”［62］与此同时，玻恩还把这篇论文的副本寄给了当时正在度假的海森堡。海森堡把这篇论文拿给玻尔看，并对他说：“看，我拿到了一篇玻恩的论文，我简直看不懂，里面全是矩阵，不明白这些东西到底是什么。”［63］海森堡不愧是位奇才。在约旦的帮助下，他不仅极其神速地精通了矩阵计算，还由此进一步给出了更为完整而富有逻辑的量子关系表述。紧接着，他与玻恩、约旦又完成了另一篇量子力学论文，这就是后人所称的“三人论文”。这篇论文以矩阵方式缩并和简化了复杂的量子关系，成为量子力学理论的突破性进展，但是由于数学处理的复杂性，使它的物理图像不清，物理实质也隐藏得太深。正如泡利对自己的朋友克罗尼格（Kronig）所说：“人们首先得设法把自己从海森堡那个洪水猛兽般的呆板数学中解救出来，才能识破其中的物理内核。”［64］
那一时期，哥丁根研究所的工作得到洛克菲勒基金会的资助，基金组织的“国际教育中心”（IEB）代表特洛布里奇（Trowbridge）需要定期到哥丁根考察。受到玻恩、海森堡和约旦的“三人论文”的鼓舞，哥丁根的研究气氛更加高涨，使前来考察的特洛布里奇受到强烈的感染。他感到这里的科学研究充满了新鲜空气，认为哥丁根正在取代柏林成为新的研究中心。他在考察报告中说：“看起来，物理和数学的中心已经转移到了哥丁根，在这种转移之中，数学的重要地位也已经被物理的新发展所取代……首先是玻恩，加上索末菲和普朗克等老一代，正推动着德国数学和物理学的进展。”［65］在考察中特洛布里奇还发现，哥丁根的教授们过着极为清贫的生活。在报告中，他使用了诸如“穷得不敢花钱”“穿着寒酸，粗茶淡饭”“没有积蓄，只够养家糊口”“出差只乘三等或四等火车”“只能买便宜房子，步行几里路上下班”等一系列字句来说明，哥丁根教授们的清贫生活恰与创造历史的辉煌业绩形成鲜明的对比［66］。