矩阵力学的诞生
这一时期，量子原子物理的发展遭遇到了瓶颈，量子化轨道理论既解释不了斯塔克实验效应，也不能像经典理论或相对论那样，做出实验预测，其原因是，此时的量子论不仅其假设局限于经典物理，也没有建成自己的理论体系，甚至没有一个普适的运动方程。
1922年，玻恩和他当时的助手泡利发展了微扰论能量表示的一般方法。1923年，玻恩和后来的助手海森堡把微扰论用于氦原子，虽然能定性地解释实验现象，但在定量上仍有很大差距。这些失败使他们领悟到，必须对这个理论进行根本的变革。为走出困境，从1923年起，以玻恩为首的哥丁根学派提出“从基础做起，重建物理学”。1924年，玻恩在一篇论文中第一次把这个“重建”的物理学称作“量子力学”。在这篇论文中，玻恩用差分法导出了色散公式，把自己的虚振动粒子技术发展到了顶峰［32］。
玻恩的这篇论文起到了指路的作用，读到它，海森堡立刻领悟到，“这篇论文为量子力学提出了结构性的框架”。他说：“它首次使我从原来的（原子）模型中彻底地脱身出来。”［33］可以说，玻恩指出了方向，并给新理论提出了思路，而海森堡则找到了描述这种理论的数学方法。
依照玻恩的思路，海森堡研究发现，所观测到的谱线振幅和频率，来自于非线性振子振动的叠加，利用傅里叶级数展开，他得到了氢原子在各能级跃迁中一系列谱线的振幅和频率的分量值。他独具匠心地把这些分量值列成一个表格式的阵列，例如，如果原子有3个状态，这些分量值就组成一个有3列3排9个量的方阵，在这些方阵间究竟有什么特殊的关系，他一时还弄不清楚。
大约就在这个时候，海森堡患上了枯草热（hay fever），他来到北海的海哥尔度假岛休养。荒僻的小岛与阵阵的海风使他的心情倍加宁静。面对列出的这些方阵，他发现了这些量之间有一种特殊的乘法关系，并从中找到一个新的表示形式，这就是以可观测量为基础的量子力学运动方程。
其后，他把电子绕核做椭圆运动的氢原子当作非线性谐振子，用他的运动方程对这样的一个最简单的非谐振子系统进行处理，经过几天紧张的计算，结果获得了成功。这个结果使他异常兴奋，事后他回忆说：“一开始，我被深深地震惊了。我发现通过表面现象，我窥探到了原子内部的一个奇妙世界，自然界竟然如此慷慨，它把这样一个丰富的数学结构展现到了我的面前，真的令我感到美不胜收。”当然，此时他还弄不明白，为什么表格中的这些量呈现出一种奇怪的乘法关系，它们不服从乘法的交换律，对此他还有一点遗憾。他回忆道：“除了方案中的这个唯一一件难以克服的事以外，我真的是满意极了。”［34］
这个奇怪的乘法规则使海森堡大惑不解，虽然论文已经写好，由于没有把握，不敢立即发表。于是，他把这些表格和相应的运算拿给玻恩看。玻恩认为这篇论文很有发表价值，于是把它寄到《物理学杂志》（Zeitschrift fur Physik）。这篇15页长文题目是“运动学与动力学关系的量子理论新释”，于1925年7月29日发表，它是量子力学的首次亮相［35］。
在过去的3年中，海森堡花费了不少时间用于原子模型研究，尽管所提出的模型最终没有站住脚，却使他对各种谱线的数据资料非常熟悉，这些付出为他找到这些实在量的资料提供了方便。正是因为有了这样的研究基础，使海森堡的这篇论文以不寻常的面貌问世，它带给人们一种清新的感觉，这就是它罕见地不再提原子模型中所看不到的轨道概念，而代之以实验可观测的量，这就是谱线的频率、强度、偏振态和能阶，并以最简单的氢原子作为突破口，把它视作为一个非线性谐振子入手研究。这篇论文把人们的认识彻底改变，量子理论不再只是原子物理的一种解释，也不只囿于原子物理的进展，它显示出一个独立学科研究的新动向。
玻恩看到了海森堡的这些表格，虽然对它的运算规则也感到奇怪，但是从中发现了“重建新物理学”的曙光。在他写给好友爱因斯坦的信中说：“看起来海森堡的新结果真是有点神秘莫测，不过无疑这个结果是深刻的，也是正确的。”［36］(https://www.daowen.com)
过了几天，玻恩猛然想起，海森堡的表格不就是矩阵吗？他意识到，量子力学的理论已经快要到手，而这个不寻常的乘法规则将是个突破口，他决定邀请泡利一起突破这个矩阵，但是泡利断然拒绝了，因为他不喜欢这种“烦琐而冗长的东西（指其中的数学）”。
矩阵法是1858年由剑桥数学家凯利（Cayley）引入的。引入的目的是为了简化微分方程组的求解手续，当时在物理学界并不常用。海森堡的论文发表以后，他应邀去剑桥讲学，玻恩只好找到了当时的助手，22岁的约旦。约旦不仅天资聪颖，而且是圈内有名的数学高手。一周之后，玻恩和约旦两人联合写出论文《论量子力学》。很快，在几个月之内，紧跟着这个原始突破，玻恩、海森堡和约旦又进一步得到了新的成果，次年，他们的论文《论量子力学Ⅱ》在《物理学杂志》上发表，它被海森堡亲切地称呼为“三人论文”（dreimannerarbeit）［37］。
这篇“三人论文”建立了量子力学理论的主体，由此诞生了矩阵力学。可以说，矩阵力学的诞生，其思想、研究方向和理论构架的开创来源于海森堡和玻恩，而数学处理则应归功于约旦。
矩阵力学诞生以后，人们发现，电子的位置、动量及普朗克常量的关系在方程中自然而然地显现了出来。但是在引入电子自旋概念之前，矩阵力学尚不能解释所有的原子现象，直到半量子数引入之后，突然像从魔鬼缠身中解脱出来那样，海森堡和约旦利用矩阵力学破解了困扰物理学界长达10年之久的一系列原子光谱之谜［38］。此时泡利也改变了态度，他和狄拉克利用这一新的力学，分别推演出来氢原子的巴尔末系的数学表征［39］。
在矩阵力学诞生80年之后，这一理论的威力仍不减当年。后来，哥丁根的两个博士后研究生，曼森（Mensing）和剑桥的罗伯特·奥本海默又利用矩阵力学对分子光谱带进一步做出了解释［40］。
这一新理论不仅概括了牛顿经典力学体系原有的各种结论，比如能量和动量守恒关系等，它还揭示了“自然界的一些内在的禀性”，给人们展现出了一个有悖于常理的诡谲的“量子世界”。在这个世界里，“量子”神出鬼没，它可以瞬间在一处消失，却又能在另一处瞬间出现，原来表现“连续性世界”的连续数学被差分数学，即矩阵力学所代替，乘法规则也不再服从交换律，然而这一看起来很怪异的理论体系不仅自身逻辑自洽，而且还与更多的观测结果相符合。
说到矩阵的这一特殊乘法律，值得顺便提到的是，其实在当时的哥丁根并不缺乏数学专家，著名数学家希尔伯特就在这里。他不仅精于数学，而且是当时世界上能用数学理论研究物理学的顶级高手。当时正在哥丁根访问的美国数学家康登（Condon）曾说，当希尔伯特听说玻恩他们三个人艰难地对付矩阵这件事时，“他（希尔伯特）笑话了玻恩、海森堡他们，因为他们对付矩阵所面临的窘境与不少人的遭遇相同，而那些人都到希尔伯特那里寻求到了帮助”。［41］希尔伯特当时就表示，利用矩阵法可以解决许多类似的疑难问题，而矩阵法所解决的问题也可以利用其他数学手段，如微分方程的办法解决［42］。果然，就在矩阵力学建立6个月之后，奥地利物理学家薛定谔就利用微分方程建立了量子力学的波动力学理论。