|3.1 策略型博弈|
策略型(strategic form)博弈是一种被广泛应用的表述方法,我们可以使用矩阵的形式对博弈问题进行抽象。作为常用的策略描述方法,策略型博弈对完全信息静态博弈的描述十分适用[2]。
假设我们需要抽象一种博弈方同时进行的博弈,我们知道每次博弈参与者会同时做出策略选择且每次只能制订一次行动计划。我们需要什么样的额外条件才能清晰完整地描述博弈局势呢?
首先,我们必须清楚博弈的参与者数量,也就是决策主体,没有人参与就不可能构成博弈。
其次,我们必须清晰地列出每位参与者可能采用的决策类型,不同的参与者在博弈过程中会扮演不同的角色,并且会在博弈的过程中选用不同的策略,我们假设参与者只能在有限的博弈空间中进行选择。
最后,我们认为参与者会从选择结果中获取一定的收益,得到一定的回报。我们需要对每一种选择都指定其可能产生的回报。
综上所述,我们可以将上述3个条件抽象为策略型博弈,给出如下定义。
囚徒困境的突破
定义3-1(策略型博弈)
策略型博弈必须包含如下要素。
参与者构成集合Γ:
每位参与者都存在非空的策略空间Si,si∈Si表示第i个博弈方的一个特定策略:
参与者的效益函数为ui(s),s=(s 1,s 2,…,sn)表示n个博弈方各选择一个策略组成的n维向量,称为策略组合。
我们可以用如下的形式表示一个策略型博弈(或称标准博弈):
在博弈过程抽象时,除了上述的3个要素外,结果空间和偏好关系往往也会被涵盖其中。
·结果空间:结果空间可以看作由策略空间到行为结果的映射,此结果是由所有参与者选择的策略共同确定的。在大多数博弈中,人们往往并不关注结果本身,而是关注产生结果的策略矢量,即选择了特定策略就一定会产生唯一结果。
·偏好关系:偏好关系是指参与者在两个结果或两个策略矢量之间的倾向性选择,对于不同的策略矢量存在不同的偏好性选择。偏好关系本身是二元存在的,只能表示两个结果的选择问题,可以记为x 1≽x 2(读作“x 2弱偏好于x 1”)。
偏好关系有如下性质,对于集合Si来说存在偏好(≽)的二元关系,有:
①满足完备性条件,即对于任何x 1,x 2∈Si,都能得到x 1≽x 2或x 2≽x 1。
②满足自反性,对于任意x 1∈Si,有x 1≽x 1。
③满足传递性,当x 1≽x 2且x 2≽x 3时,可以得到x 1≽x 3。
在经济学中,上述3条性质组成消费者理论的偏好公理,同样地,在博弈论当中偏好关系也满足这样的性质,在之后关于均衡问题的讨论上,将使用偏好关系帮助我们剔除可能存在的劣势策略,选用具有高偏好的策略。
对于简单问题,我们可以将所有的偏好关系列出,但是当博弈规模增大,策略空间增大时,偏好关系的数量会以指数规模增加,用列表来表示偏好关系是不现实的,因此我们引入效益函数,用实数空间R映射所有可能存在的偏好关系。
在解决实际问题时,我们往往会抽象问题,将参与者与参与者的策略空间固定在有限集中,我们称为有限博弈,接下来给出有限博弈的定义。
定义3-2(有限博弈)
若博弈的参与者集合与每个参与者的策略集均为有限集,我们称这类博弈为有限博弈。
对于有限博弈,我们可以使用效益矩阵来表示,以此更好地帮助我们做出决定,下面介绍生活中常见的博弈问题,并采用效益矩阵对这类博弈问题进行抽象模型构建,将其作为我们研究完全静态博弈问题的切入点。
例3-1 二人博弈(https://www.daowen.com)
二人博弈是生活中最为常见的博弈方式,在2.3节中,我们简单地为大家介绍了囚徒困境、赌胜博弈、双寡头削价策略等由两名参与者构成参与者集合的博弈模型的3个例子,在这里我们给出优惠券竞争的补充案例并针对此问题给出效益矩阵。
优惠券与市场竞争:我们假定在市场中存在着两家公司,每家公司每年都能赢利50万元。两家公司均需要决定是否给用户发放优惠券,每家公司发放优惠券每年都需要花费20万元,但是可以从未发放优惠券竞争对手手中获得市场并多获利30万元,如果双方都发放优惠券,则双方均无法获得额外的市场利润。
假设两家公司分别为A和B,则可以根据A、B是否发放优惠券分为4种不同的情况。
情况1:A发放优惠券,B不发放优惠券,此时A的效益函数可以使用等比例缩放的收入表示,即u(A)=5-2+3=6,此时A在基本赢利的基础上支出20万元的优惠券费用,但是收获了30万元原本属于B的利润,所以此时A的总盈利为60万元,同理可以得到u(B)=5-3=2。
情况2:A不发放优惠券,B不发放优惠券,u(A)=5,此时u(B)=5。
情况3:A不发放优惠券,B发放优惠券,u(A)=5-3=2,此时u(B)=5-2+3=6。
情况4:A发放优惠券,B发放优惠券,u(A)=5-2=3,此时u(B)=5-2=3。
根据上述情况我们可以得到两公司优惠券博弈的效益矩阵,见图3-1。
图3-1 优惠券博弈效益矩阵
在图3-1所示的效益矩阵当中,A和B的不同利润取决于他们所采取的不同策略。在完全静态博弈中,A、B的策略是透明的,对二者都可见,我们通常将不同参与者的所有可能性策略作为效益矩阵的横轴和纵轴。在效益函数的处理上,我们将A的回报放在逗号前面,将B的回报放在逗号后面。
上述的博弈模型在如今的互联网商业竞争中常存在[3],饿了么和美团的商业大战在忽略特定因素后我们可以将其抽象成上述模型。
实际上,往往参与博弈的双方都会选择发放优惠券,虽然不发放优惠券可能在某些情况下获得更多的利益。这背后的原因我们将在下一节为大家做更详细的解读。
例3-2 二人零和博弈
零和博弈是一种所有收益相加为零的博弈方式,这意味着在博弈中存在失败的参与者,即由输家支付赢家所得。二人零和博弈是二人博弈的一种特殊情况,其特点是效益矩阵双方收益和为零。
对于零和博弈,我们只需要给出第一个参与者的所得即可。在赌胜博弈中,我们为大家介绍了常见的零和博弈模型,如石头剪刀布等这类赢家唯一的博弈模型,这类模型的效益矩阵除了可以按照正常二人博弈的写法外,我们还可以只针对策略设定效益矩阵如下,见图3-2。
图3-2 策略矩阵
在图3-2所示的效益矩阵中,所有的收益代表的都是采取左侧一列策略的参与者获得的收益。因所有参与者博弈收益总和为零,所以我们可以通过减法求取另一位参与者的收益。
其实零和博弈是一种特殊的常和博弈,这类博弈的典型特点是参与博弈的双方所获利益总和固定。实际上,像石头剪刀布这类的零和博弈在自然界中极为常见。比如,某些蜥蜴用来赢得伴侣的策略有3种:侵略、合作与欺骗。这3种策略就像石头剪刀布一样,有着环状的胜负关系(侵略战胜合作,欺骗战胜侵略,合作战胜欺骗),对于蜥蜴来说,基因的成功延续就代表赢得游戏[4]。在这类生物的石头剪刀布博弈中,通常都是大种群中的一对玩家开始比拼,对决结束后赢家就会增加一个(顺利繁衍后代),输家的基因则会消失。随着初始情况中每种策略比例的不同,蜥蜴种群会演变为不同的占比结果。生物学界将上述模型称为“演化博弈论”,此类模型能帮助人们更好地理解生态群落中的物种多样性。
上述内容展示了博弈论在经济领域外的广泛应用。事实上,与自然界相同,在互联网上“生态”也是经济发展的重要组成部分。如何在强烈的竞争中延续公司的“基因火种”,是不少公司研究的核心问题。
例3-3 3人或多人博弈
如果博弈的参与者不唯一且动作不唯一,我们应该如何设计效益矩阵呢?
我们可以引入分治的思想对这类问题进行模型抽象,即将讨论A、B、C三者的效益矩阵抽象为假设A采取了某类行动后,B、C的效益矩阵应该如何设计。
接下来,我们通过实际的案例加深理解。
涨薪投票:有3名员工集体上书老板要求涨工资,老板让他们投票决定。如果赞同票数量大于反对票,那么3人都可以涨1 000元的工资。如果有一个人投了反对票,但赞同票数量仍多于反对票,那么投反对票的人可以多获得1 000元。如果反对票数量大于赞同票,那么投出赞同票的人会被额外倒扣1 000元工资且剩余人不会涨薪。
采用分治的思想,我们可以获得如下效益矩阵,见图3-3。
图3-3 效益矩阵
其中效益矩阵的收益是按照(A,B,C)的收益顺序排列的。同3人博弈情况相似,对于复杂的多人博弈,我们也可以按照相同的形式,将大问题拆解为小问题的组合,再针对不同情况分类进行讨论。
对于玩家来说,使用博弈论的目的是提供给其每一步的最好选择,而不是单纯地生成采取不同举措的效益矩阵。引入效益矩阵的最大优势是可以将问题抽象化,使我们采取的解决方案不再纠结于某个特例,将考虑问题的重点放在效益矩阵的数字上。
