|3.3 重复剔除的占优策略均衡|
尽管占优策略均衡是一种很好的博弈结局预测手段,但往往在现实中,严格占优的策略均衡并不多见,大多占优策略均衡对博弈行为进行预测缺少普遍适用性。
严格占优的策略对很多事情存在启发性。如果将严格占优的包含范围放宽,那么可以应用迭代剔除劣势策略达到更好的均衡。
当可选策略不唯二时,我们可以将寻找严格占优策略的过程描述为重复剔除劣势策略,通过重复剔除劣势策略,我们可以找到在某一种情况下的最优策略,即达到占优策略均衡,接下来我们通过两个案例来详细了解一下。
例3-5 3人占优策略均衡
经典的占优策略均衡在第3章的囚徒困境当中我们已经给出过详细的案例和解释,这里我们考虑一个博弈方可选择的策略多于2个的情况。
客源价格战:某个城市中有两家酒馆共享所有客源,我们假设啤酒成本不计,两家酒馆都可以选定2元、4元、6元作为啤酒价格。据估计,游客在酒吧中会喝6 000瓶啤酒,他们会随机选择一家酒馆。当地人在酒吧中会喝4 000瓶啤酒,他们会选择价格较低的酒馆,如果两个酒馆的价格相同则会平均分配。酒馆选择什么样的价格最合适呢?
我们根据两家酒馆的不同策略可得到如下效益矩阵,见图3-4。
图3-4 客源价格战效益矩阵
与之前问题的不同之处是,现在参与博弈的策略不唯二,面对这样多个策略的博弈,我们可以先剔除绝对劣势策略。
我们可以把现阶段的博弈模型称为对称博弈模型,即参与博弈的两方所有策略及效益均相同,因此我们只要剔除一方的绝对劣势策略,也就可以剔除另一方的绝对劣势策略。
对于上述问题来说,采取定价4元的策略严格优于采取定价2元的策略,因此可以将定价2元的策略消除,获得如下效益矩阵,见图3-5。
图3-5 剔除2元策略的效益矩阵
在新得到的效益矩阵中,定价4元的策略严格优于定价6元的策略,因此我们消除了参与者的这项策略的选定,最终我们得知定价4元是最好的策略。
从例3-5中我们可以看出,当策略选择不止两种时,劣势策略的策略效益不一定小于优势策略,因此占优策略的选定是在已知其他参与者不选择的基础上完成的,在后续的纳什均衡中我们也会用相同的方法对此类因其他参与者行为不同而做出不同优势策略的情况进行讨论。
例3-6 多人占优策略均衡
在例3-5中我们给出了策略超过两个时占优策略均衡满足的情况,这里在此基础上,扩充给出多人参与的案例。
维克里拍卖(Vickrey auction):N个买家通过密封投标的方式竞价,出价最高的投标者获得被拍卖的商品,并且支付第二高的出价,竞品对玩家i的价值是v i,玩家i的出价是b i,买家应该怎样出价才能获得最大利润?
维克里拍卖又叫第二价格拍卖[8],由经济学家Vickrey于1961年提出。需要注意的是,在这个博弈过程当中我们做出如下3条假设:
①拍卖属于密封式拍卖,不需要按照顺序,所以是一种静态博弈;
②拍卖只会进行一轮,各个竞拍人报出自己的最高接受价格;
维克里拍卖
③这里假设出的最高价格相同,序号较小的以第二高的价格成功拿到商品。
我们可以分析一下玩家i的收益。玩家i的收益应该是v i-b second,使利润最大化就是使每个玩家此项式子的结果最大化。
我们先从一个简单的问题来看,假设参加的玩家只有两名,竞品对玩家的价值分别是v 1=100,v 2=60,玩家的出价分别是b1,b 2。
如果玩家2的出价(120)大于100,那么玩家1的出价一定不会大于100,因为如果玩家1出价大于100赢得了竞拍就会亏损;玩家1的出价一般不会小于100,因为这样可能输掉竞拍,也就是收益为0,这和出价100元时的效益相同。
如果玩家2的出价(80)小于100,那么玩家1的出价一般不会大于100,因为这样赢了竞拍也不会带来更多的收益;另外玩家1不会出低于100的价格,因为降低出价不会带来额外收益(90),甚至会输掉竞拍(低于80),所以出价100是最好的选择。
我们可以将这个问题扩展到普适的问题上:
如果其他玩家的竞价高于玩家i的v i,玩家i不会抬高自己的出价(v i),因为如果赢了甚至可能会亏,另外也不会降低自己的出价(v i),因为降低更不可能赢,获利为0。
如果其他玩家的竞价低于玩家i的v i,玩家i不会抬高自己的出价(v i),因为如果赢了也不会带来更多收益,另外也不会降低自己的出价(v i),因为降低可能会输掉竞拍,获利为0。
因此,对于维克里拍卖问题,我们可以得到如下结论。
在第二价格拍卖中,对于任意玩家i,策略bi=v i是一个弱占优策略,即(v 1,v 2,…,v n)是一个占优策略均衡。也就是说玩家i出价为v i时,最终的收益不会低于其他策略,甚至还可能高于其他策略。
当其他参与者知道该参与者剔除了某一策略时,那么博弈的策略空间就变为了一个全新的空间,当剔除不断重复进行时,我们可以将可能存在的劣势策略全部剔除,直至剩下唯一的策略组合为止。
如果在博弈中可以做到上述的过程,那么我们称最后的结果达到的是“重复剔除劣势策略的占优策略均衡”,或简称“重复剔除的占优策略均衡”。
接下来给出重复剔除劣势策略均衡的详细定义。
定义3-5(重复剔除的占优策略均衡)
需要注意的是,如果在完成迭代剔除劣势策略后存在多个策略组合,那么该博弈不能收敛到重复剔除占优策略的均衡状态。同时需要强调的是,我们这里使用的是占优策略,有别于优势策略。
在之前客源价格战的求解过程中,我们只剔除了一个严格劣势策略,使得此博弈问题占优策略可解。接下来我们用重复剔除劣势策略的思想,不断剔除劣势策略直至剩下唯一的策略组合。
在图3-4所示的效益矩阵当中,采取定价4元的策略严格优于采取定价2元的策略,因此我们可以剔除定价2元的策略,得到全新的效益矩阵,在这个效益矩阵中,定价4元的策略是定价6元的策略的严格占优策略,我们可以剔除定价6元的策略,得到如下的唯一策略,见图3-6。
图3-6 剔除6元策略的效益矩阵
在进行均衡求解时,我们需要额外注意以下两点。
·重复剔除占优策略均衡的结果与劣策略的剔除顺序是否有关取决于剔除的是否为严格劣势策略。(https://www.daowen.com)
·我们要求所有的参与者均为理性人,并且理性人假设属于共同知识,即所有参与者都是理性的,并且知道其他参与者都是理性的,知道其他参与者知道所有参与者都是理性的。
例3-7 迭代剔除劣势策略实例
接下来,通过几个详细的实例来加深读者的理解。
职业经理人的选择:近些年互联网中有许多概念值得投资,如5G、区块链、人工智能。对于小公司和大公司往往研发成本和收益不成比例,很多技术投入研发要耗费大量的人力、物力,但研发的成果很容易被窃取。
我们简化并抽象当前面对的问题,假设市场中有两家科技公司,一家拥有较强的变现能力,我们称其为大公司,另一家变现能力稍弱,我们称其为小公司。在不考虑知识产权的前提下,两家公司可以各自选择研发新技术或者做实际可销售的产品,后研发出来的公司可以直接使用先研发出来的公司的技术。如果研发新技术需要200万元的经费,市场总共可赢利1 000万元。如果无人研发新技术,做实际可销售的产品不会有任何收益。如果大公司比小公司率先研发出可赢利的产品,大公司会比小公司多赢利700万元;如果小公司比大公司率先研发出可赢利的产品,小公司会比大公司少赢利200万元。如果二者同时选择研发新技术,那么小公司会比大公司少赢利400万元。
根据该问题,我们可以发现,每家公司都有研发新技术和做实际可销售的产品两个策略。根据上述条件我们可以很容易地得到如下效益矩阵,见图3-7。
图3-7 职业经理人的选择效益矩阵
在图3-7所示的效益矩阵当中,很明显并不存在占优策略均衡,尽管小公司存在一个严格占优策略,但是大公司却没有严格占优策略,所以不能运用占优策略均衡求解此博弈。但是我们可以使用迭代剔除劣势策略,剔除存在的劣势策略。
假设小公司是理性的,小公司的经理人会选择做实际可销售的产品而不是研发新技术,因为对于小公司而言做实际可销售的产品是研发新技术的优势策略,因此小公司的经理人会选择严格策略占优(即做实际可销售的产品)。我们可以将效益矩阵通过迭代剔除劣势策略改写为图3-8所示的形式。
图3-8 剔除劣势策略的职业经理人的选择效益矩阵
显然,在新的效益矩阵当中,大公司存在一个严格占优策略——研发新技术,假设大公司的经理人同样是理性的,那么大公司会选择研发新技术。因此在这个博弈当中会出现新的策略均衡,即大公司研发新技术,小公司做实际可销售的产品。
事实上,例3-7可以概括为智猪博弈理论,在实际中,往往总是大公司先去开辟市场和技术,当大公司的内容得到受众认可时,小公司才会参与产品开发。研发新技术(按开关)的花销是十分巨大的,对于小公司来说学会“搭便车”也是聪明经理人的所作所为。
除了得到经济学上决策的均衡外,迭代剔除劣势均衡往往还能解释社会上发生的一些事情,例如美国总统大选时总统的政治倾向。
中间选民定理:假设有两个候选人,分别可以选择10个立场:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。每个立场都会得到10%的选票,选票均匀分布,选民会投给立场最接近自己的候选人,出现平局时选票会平摊给两个候选人,候选人的收益就是候选人需要尽可能最大化获得的选票。
在上述的例子中选择哪一个立场一定是劣势策略呢?我们使用U 1(x,y)表示当候选人1选择立场x,候选人2选择立场y时候选人1获得支持的票数。
我们可以获得如下比较关系:
在上述立场比较中,我们可以发现,选择立场2永远优于选择立场1,即立场2是立场1的严格占优策略。同理对于立场10来说也满足相同的条件,选择立场9也严格优于选择立场10。
根据迭代剔除劣势策略的原理,我们可以很容易地将立场1和立场10剔除。
接下来,我们考虑一下立场2,与立场1的情况相同,立场2是立场3的严格优势策略,我们可以采用同样的方法进行剔除。经过重复剔除的过程,最后剩下的就是立场5和立场6。
上述的问题本质是一个政治学的问题,候选人的立场最终都会被挤到中间,也就是会选择与对手相近的政治立场而且是中立的立场,这就是著名的中间选民定理。
在美国总统竞选的历史上,有一个和中间选民定理很相似的例子:1960年,著名的民主党候选人约翰·肯尼迪以微弱的优势战胜了理查德·米尔豪斯·尼克松,他持有的就是比较保守的中间人立场,1968年尼克松又以同样的策略赢得了选举,1992年威廉·杰斐逊·克林顿也是如此,他将民主党向右翼靠拢,也就是使自己的立场变得中立,以此来拉拢中间选民并获胜。
现实的情况往往没有这么理想,如果每个立场的选票不均匀,每个立场的人数不相同,参与选举的人数超过两个,更甚者选举人的个人性格可能才是主导中间选民定理的关键,这时中间选民定理有可能会失效,没办法反映真实的策略均衡。
我们建立中间选民模型是为了更好地描述现实中的问题,不代表可以反映现实中的所有问题,事实上博弈论的所有模型都难以抽象复杂的人性与环境,研究博弈论是希望通过建立抽象的模型验证观点,如果出现分歧再复盘思考,一步步分析并解决问题。研究博弈论的同时一定要牢牢结合实际,不仅是迭代剔除劣势均衡,其他问题也是如此。
在迭代剔除劣势策略均衡当中,还有一个典型的例子——智猪博弈。接下来我们就从智猪博弈的讲解入手更详细地分析迭代剔除劣势策略所达到的策略均衡。
智猪博弈:假设猪圈中有一头大猪和一头小猪,在猪圈的一边安装有提供猪饲料的按钮,另一边有猪进食的猪槽。按下按钮后会有十个单位的猪饲料进入猪槽,但是按按钮必须先付出两个单位的成本。由于按钮和猪槽的位置正好相反,所以先按按钮的猪往往会丧失先到槽边进食的机会。大猪往往食量会大于小猪,如果小猪先到槽边进食,小猪会比大猪少吃2个单位的食物;如果它们同时到槽边进食,大猪会比小猪多进4个单位的食物;如果大猪先到槽边进食,大猪会霸占9成的猪饲料。
在1950年著名的经济学家约翰·纳什就提出了此问题[9],实际上往往小猪会选择等待,大猪会选择按按钮,达到这样的均衡。我们可以使用图3-9所示的博弈矩阵,更好地描述这个问题。
图3-9 智猪博弈效益矩阵
智猪博弈
在图3-9所示的博弈矩阵中我们可以看出,对于小猪而言,行动是等待的绝对劣势策略,也就是小猪一定不会选择行动,而会选择等待。因此可以利用迭代剔除劣势策略的思想,将小猪行动策略剔除。我们可以得到剔除后的策略矩阵,见图3-10。
图3-10 剔除小猪行动策略后的博弈矩阵
对于大猪来说,此时占优策略是行动,实际上这个例子与前文的职业经理人的选择十分相似,或者说小企业的职业经理人往往应学会如何“搭便车”。
智猪博弈的故事给了我们当竞争中存在明显的优势和劣势群体时应该如何采取最佳策略的启发。在博弈过程中往往不是一方要想办法攻击另一方,对于一个充满理性人的博弈情况来说,博弈的双方目的都是获得更大的优势,这时候人们需要智慧。
除了分析博弈论潜在的可能性结果以外,我们还要充分考虑收益矩阵当中不同收益值对策略均衡结果的影响。
一个经典的案例就是英国政府流放澳大利亚犯人的故事。早年英国政府经常把犯人流放在澳大利亚的孤岛上,为了减小开销,往往英国政府会雇用澳大利亚的商船对犯人进行运输,在运输的过程中因为水手和航船雇主的虐待,大批犯人在中途就葬身大海。
面对这样的一个问题,英国政府对犯人运送的办法稍加改变就大量地减少了犯人在运输中途死去的数量。政府采取等犯人到达澳大利亚后才支付费用的方式,这样做在博弈论当中实际是更改了虐待犯人和善待犯人的收益矩阵。
对于智猪博弈同样是这样的道理,假设大猪在选择等待行为后,小猪将会多吃一点猪饲料,当这部分饲料超过大猪选择等待行为所获得的利益时,就会打破之前的迭代剔除劣势策略均衡,事情往往会朝着不一样的方向发展。
事实上,这也正是市场上大公司的所作所为,一些大公司往往不会盗用小公司所创造的成果(除了出于知识产权保护原因外),而是会选择对一些科技创业公司进行收购,给其开发创新产品留出相当充足的空间。这时大公司只要付出一些可能得到的利益,就可能获得更多的利益。
当大猪改变了行动的收益矩阵时,往往最后结果不唯一,纳什同样对这类问题进行了归纳和总结,如图3-11所示。
图3-11 大猪改变行动后的收益矩阵
如何求解这类问题的最优策略?我们留到下一节的纳什均衡为大家详细讲解。
