|3.6 完全信息静态博弈举例|
性别之战:一对夫妇亚当和贝丝,独立决定晚上是去看足球赛还是去看芭蕾舞。每个人都喜欢和对方一起做某事,但男人更喜欢足球,女人更喜欢芭蕾舞。
为了简化游戏,我们假设每个玩家的总效益是在选择自己喜欢的动作时的效益(就满意度而言)总和,这会给出c个满意单位的满意度。而与另一半在一起,会给出d个满意单位的满意度。我们有两种变体,取决于c或d哪个更大,即低或高的爱情变体。这里的回报是满意度而不是金钱。满意度假设是严格可加的——满意度也可以是可乘的,或者是c和d的一些更复杂的函数,甚至可能一个领域的满意度会干扰另一个领域的满意度。两个人的满意度可能不同,一个人比另一个人更欣赏对方的存在,或者一个人明显偏爱足球赛或芭蕾舞,而另一个人则无动于衷。
由于这个例子是在手机出现之前设计的,所以我们假设二者的通信是不可能的。表3-1和表3-2所示是两种变体的效益双矩阵,其中亚当选择行,贝丝选择列。
表3-1 高爱情(c=2,d=1)
表3-2 低爱情(c=1,d=2)
高爱情版的性别之战(见表3-1)有两个纳什均衡:(足球赛,足球赛)和(芭蕾舞,芭蕾舞)。亚当选择“足球赛”,贝丝最好选择“足球赛”作为回应。亚当选择“芭蕾舞”,贝丝的最好回应是“芭蕾舞”。还有,亚当对贝丝选择“足球赛”的最佳回应是“足球赛”,他对贝丝选择“芭蕾舞”的最佳回应是“芭蕾舞”。低爱情版的性别之战(见表3-2)有一个纳什均衡,即(足球赛,芭蕾舞):两人无论如何都选择他们个人最佳喜好。
骑士:五骑士A,B,C,D,E正在选举他们的领袖。每个骑士都有一个偏好列表。他们从高到低的偏好是
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他们轮流选举。在每一轮选举中,每个骑士都提交一个名字。如果某个骑士比其他骑士获得的票多,那该骑士就被选举出来。因此,如果没有其他骑士获得两票,即使某个骑士获得两票也可以被选举出来。如果没人被选举出来,则进入下一轮。
本博弈有两个版本。
Early版本:如果当选的领袖是某骑士的第一选择,则该骑士的效益为2;如果是他的第二选择,那么他的效益为1;如果没人被选举并且进入下一轮,他的效益为0;如果他的第三、四、五选择被选举上了,他的效益为-1,-2,-3。
Exhausted版本:当选者是骑士的第一、二、三选择,则他的效益为2,1,0;如果没人被选举,进入下一轮,他的效益为-1;如果第四、五选择被选上了,那么他的效益为-2,-3。
因为每个玩家都有5个选项,所以有5×5×5×5×5=3 125个结果。实际上我们可以用五维矩阵的效益来表示它们,这个留给读者自行尝试。
我们来简单分析一下两个版本下的纳什均衡解情况,假如A投票给A,B投票给B,C投票给C,D投票给C,E投票给C,那么在Early版本中,A,B,C,D,E的效益分别为-2,1,2,-1,1。在这种情况下,骑士A不开心,但没有办法改变投票结果(即使投其他票,C仍然会胜出)。但是这个结果不是纳什均衡解,因为如果D知道其他人的投票结果,会宁愿投给B以获得平局和0的回报。而在Exhausted版本中,A,B,C,D,E对于相同的投票模式的效益是-2,1,2,0,1。骑士D仍然不喜欢C,但现在只是满足于有人被选出即可(如果进入下一轮其只会得到更低的收益)。因此,在这个版本的游戏中,这个结果是一个纳什均衡解,因为鉴于其他人的投票,没有人会重新考虑改变投票方式。骑士A和D依然不高兴,但他们不能单方面改变这一点。
接下来看看如何在Exhausted版本中搜索纳什均衡。这个想法可以从任何结果开始,由一组骑士的选择定义。如果所有骑士都对其他骑士的动作做出最佳回应,我们就有了纳什均衡。否则,至少有一位骑士还没有做出最佳回应——我们让这位骑士重新考虑并做出最佳回应。然后我们再次评估结果,要么我们现在有一个纳什均衡,要么仍然有一个骑士没有对其他骑士的动作做出最佳回应,那么就继续上述过程,直到得到纳什均衡。
按照上述搜索办法,我们尝试搜索一下纳什均衡,首先每个人都先投票给自己的结果,很显然会是一个平局,这种情况下所有人都希望自己的第二选择被选中。假设D重新考虑并投票给B而不是他自己,那么B将被选中,此时B和E不会改变投票。A不开心,会改变投票,其可以投票给E,避免选中B。此时C改选E会获得更好的收益,C改选E后任何人单独改变自己的投票模式都不会再有更好的收益。这种投票EBEBE就是一个纳什均衡。
当然,该过程并不总是会得出纳什均衡结果。从每个人都为自己投票开始,A选择最佳答案投给D,然后B选择最佳答案并投票给C,之后D重新考虑并投票给B,B重新考虑,再次投票给自己,D重新考虑,再次投票给自己。这样我们得到了之前讨论过的结果(投票模式DBCDE),并且该过程可以永远以同样的方式继续下去。
