|思考题及参考答案|

3.1 根据共同知识,我们给出一个思考题。一个村子中,有50户人家,每家都养了一只狗。村子里面出现了N只疯狗,于是村里规定谁要是发现自己的狗是疯狗,就要将自己的狗枪毙。村子里面的人只能看出别人家的狗是不是疯狗,但不能看出自己家的狗是不是疯狗,即使发现别人家的狗是疯狗也不能告诉别人。开始观察后,第一天晚上,没有枪声。第二天晚上,也没有枪声。第三天晚上,枪声响起但不知道有多少枪声,请问一共有多少只疯狗?

答案:我们可以从上述的问题当中抽象出两个必要的条件。

条件一:每户人家只能观察别人家的狗,不能观察自己家的狗。

条件二:每户人家只有权利杀自己家的狗,而不能去杀别人家的狗。

事实上,随着时间的推移,至少存在N只疯狗才慢慢变成了共同知识。在第一天结束时存在N只疯狗并不是共同知识,人们的共同知识是N＞0,N≥每户人家的观测数且N≤每户人家的观测数+1。

因为第一天结束并没有枪声响起,因此可以排除N=1的情况,共同知识变为N＞1。

同理,第二天结束的时候并没有枪声响起,可以排除N=2的情况,共同知识变为N＞2。

第三天枪声响起证明N等于某一特定值,即无法排除N=3的情况,对于疯狗的主人来说他们发现疯狗的数目大于自己的观测数目,因此疯狗的主人开了枪,可以确定此时N=3。

综上所述,疯狗的只数等于3,并且第三天时,疯狗的只数为3成了共同知识。

3.2 有3个玩家。每个玩家都有一个没有标记的信封,并被要求在里面放入3元钱或者6元钱或者什么也不放。裁判收集信封,打开信封,收集所有的钱,然后将金额翻倍(用裁判的钱),并将总金额三等分,分给玩家。每个玩家都是自私和贪婪的,因为他们完全按照他们的财富净变化(他们从裁判那里得到的收入减去他们的支出)来排列结果。

如果玩家1和2什么都不放,玩家3放6元钱,那么裁判再加6元钱,使总数变成12元钱,把这个总金额三等分,给每个玩家4元钱。

求该博弈的纳什均衡。(https://www.daowen.com)

答案:所考虑的博弈如图3-18所示,这个博弈只有一个纳什均衡,即(0,0,0)。

图3-18　题3.2的效益矩阵

3.3 考虑图3-19所示的博弈:

图3-19　题3.3的效益矩阵

①假设m=5,n=8,求混合策略的纳什均衡,并计算纳什均衡时双方的效益。