|3.4 纳什均衡|
纳什均衡与囚徒困境
博弈分析的目的是预测博弈的均衡,即假设每个参与人都是理性的,每个参与人都知道每个参与人都是理性的,什么是每个参与人的最优策略?什么是所有参与人的最优策略组合?纳什均衡是完全信息静态博弈解的一般概念,也是所有其他类型博弈解的基本要求。纳什均衡又称为非合作博弈均衡,是现代博弈论的重要概念及核心内容,以约翰·纳什的名字命名。
我们首先定义二人博弈纳什均衡。
定义3-6(二人博弈纳什均衡)
其经典的例子就是例2-1所述的囚徒困境。囚徒困境是一个非零和博弈。两人同时陷入招供还是不招供的两难处境,但两人无法沟通,于是他们从各自的利益角度出发,都依据各自的理性而选择了招供,这种情况就称为纳什均衡点[10]。这时个体的理性利益选择是与整体的理性利益选择不一致的,或者说纳什均衡并不总是意味着选择最优的策略[11]。
我们再来看一个例子。
广告投资:想象一下有两家相互竞争的公司M和N,两家公司都想确定他们是否应该为自己的产品推出新的广告活动。如果两家公司都开始做广告,每家公司将吸引100个新客户。如果只有一家公司决定做广告,他将吸引200个新客户,而另一家公司将不会吸引任何新客户。如果两家公司都决定不做广告,两家公司都不会吸引新客户。
上述例子的效益矩阵如图3-12所示,可见,M公司应该为其产品做广告,因为这个策略比不做广告的选择提供了更好的回报。N公司也存在同样的情况。因此,当两家公司都为其产品做广告时,是一个纳什均衡。
图3-12 广告投资的效益矩阵
我们或许可以体会到,对上述定义有几种可能的解释。
设想玩家能够在游戏前进行沟通,并达成一个非约束性的协议,表示为策略组合s*;那么,当且仅当s*是纳什均衡时,没有玩家会有动力偏离该协议(如果他相信其他玩家会遵守该协议)。
博弈的最佳结果是没有动机偏离初始策略。更具体地说,纳什均衡是博弈论中的一个概念,即博弈的最佳结果是在考虑对手的选择后,没有玩家有动机偏离他们所选择的策略(在某些情况下他观察到对手的策略后,本可以用自己的不同策略做得更好)[11]。
如果玩家都是“同等理性”的,玩家2得出的结论是他应该选择y,那么玩家1一定能够复制玩家2的推理过程并得出相同的结论;由此可见,玩家1的策略选择是不理性的,除非x是一个优于y的策略。类似的论证也适用于玩家2的策略选择(y必须是针对x的最优策略),因此(x,y)是一个纳什均衡。
定义3-7(纳什均衡)
纳什均衡的普遍意义和存在性定理的证明是约翰·纳什在普林斯顿大学攻读博士学位时完成的。这些重要成果奠定了非合作博弈理论发展的基础。博弈论的研究起始于1944年约翰·冯·诺依曼(John von Neumann)和奥斯卡·摩根斯特恩(Oskar Morgenstern)合著的《博弈论与经济行为》。然而却是纳什首先用严密的数学语言和简明的文字准确地定义了纳什均衡这个概念,并在包含“混合策略(mixed strategies)”的情况下,证明了纳什均衡在n人有限博弈中的普遍存在性,从而开创了与诺依曼和摩根斯特恩框架路线完全不同的“非合作博弈(non-cooperative game)”理论。(https://www.daowen.com)
定义3-8(最佳回应)
最佳答复:例如,在图3-13所示的游戏中,对于玩家M来说,有两个对Z的最佳答复,即J和W,而对B的唯一最佳答复是X,对C的唯一最佳答复是W;对于玩家N来说,对J的最佳答复是Z,对W的最佳答复是B,对X的最佳答复是B。
图3-13 最佳答复的效益矩阵
利用最佳答复的概念,我们可以得出一种快速寻找二人博弈纳什均衡的方法:在表格的每一行中画出玩家N在该行中的最大效益,在每一列中画出玩家M在该列中的最大效益;如果存在一个单元格使得玩家M和N被同时画线,那么该策略组合就是纳什均衡。
对于图3-13所示的博弈,可以得出两个纳什均衡,分别为(J,Z)和(X,B)。
最后,我们要指出,由于到目前为止我们只关注有序的博弈,所以不能保证任意的博弈至少有一个纳什均衡。不存在纳什均衡的一个例子如下。产品外观:一家老牌企业M和一家新进入固定规模市场的企业N必须选择产品的外观。每家企业都可以在两种不同的产品外观中进行选择,称为J和W。老牌企业希望新来者的产品看起来与自己的产品不同(这样他的客户就不会被诱惑去购买新来者的产品),而新来者则希望产品看起来相似。我们可以用图3-14所示的二人策略游戏来模拟这种情况。
图3-14 产品外观的效益矩阵
纳什均衡存在性定理证明
为了找到纳什均衡,我们遍历每一种策略组合。
·(J,J):企业N可以通过选择行动W而不是行动J,将其报酬从1增加到2,因此这个策略组合不是纳什均衡。
·(J,W):企业M可以通过选择行动W而不是行动J,将其报酬从1增加到2,因此这个策略组合不是纳什均衡。
·(W,J):企业M可以通过选择行动J而不是行动W,将其报酬从1增加到2,因此这个策略组合不是纳什均衡。
·(W,W):企业N可以通过选择行动J而不是行动W,将其报酬从1增加到2,因此这个策略组合不是纳什均衡。
我们得出的结论是,该博弈没有纳什均衡!
