|3.5 混合策略纳什均衡|
纳什传记电影
在上节中,我们只考虑了结果不涉及任何不确定性的游戏。换句话来说,博弈游戏中的参与者每人只选择一个“明确而单一的行动”,即参与者采取纯策略。比如,上节中提到的两家公司打广告的例子,当他们不打广告时,他们平分市场,各自占有一半的市场份额,但他们都知道,只要他们先打广告,就能一下子抢到更多的客户,赚取更多的利润,那他们会选择打广告吗?我们应该能想象到,如果两家公司都打广告,还不如不打。因为两家公司都打广告,还是要回到最开始的时候,两家公司的市场份额相等,各自占有一半的市场份额,但是他们都花了广告费。为了一起赚取利润,所以不打广告?那也不行,只要你不打广告,对方就有打广告的动机,结论是什么?没错,因为我们担心对方会先打广告,因为我们知道对方先打广告自己会少赚钱,为了防止少赚钱,所以我们要选择打广告。我们选择了一个明确的结果,这个选择我们就称为纯策略,在选择的过程中要考虑对方的反应,要选择自己的最佳,符合纳什均衡的含义,我们就把这个结果称为“纯策略纳什均衡”[12]。
作为介绍混合策略纳什均衡的一种方式,我们首先考虑将不确定的、概率性的事件纳入广义形式的博弈。
我们从一个例子开始。
方块还是梅花:有3张牌,一张方块,两张梅花。它们被洗好后面朝下放在桌子上。M挑了最上面一张牌,看了看,没有给N看,然后告诉N“顶牌是方块”或“顶牌是梅花”,M可能说的是实话,也可能在撒谎。然后N必须猜出最上面一张牌的真正颜色。如果N猜对了,就从M那里得到9元钱,否则就支付9元钱。
这种情况如何表示呢?
M策略的第一个要素是他看到方块时说什么,第二个要素是他看到梅花时说什么。N策略的第一个要素是如果M说“方块”,他猜什么,第二个要素是如果M说“梅花”,他猜什么。
显然,策略的概念不受偶然事件存在的影响。在图3-15所示的博弈中,M有4个策略,N也有4个策略。然而,当我们试图写出相关的策略形式时,确实遇到了一个困难。例如,考虑以下策略形式:((方块,梅花),(方块,方块))。其中M的策略是实话实说(看到方块就说“方块”,看到梅花就说“梅花”),N的策略是无论M说什么都猜方块。这种情况下的结果是什么?这取决于最上面那张牌的真实花色是什么,因此,结果是一个概率性的结果。我们把这种概率性结果称为混合策略。
图3-15 方块还是梅花的随机动作
定义3-9(混合策略博弈)
给定一个具有基本效益的策略形式的博弈,Si是玩家i的策略集。从现在起,我们将称Si为玩家i的纯策略集。假设Si是一个有限的集合。玩家的混合策略是纯策略集Si上的一个概率分布。玩家i的混合策略集用Σi来表示。
你在玩石头剪刀布游戏时总是出石头吗?不太可能,大多数人都会轮流出不同的拳头,这其实就是一种“混合”策略。相比之下,如果有一个非理性的人总是出石头,那么我们会说他采取的是“纯”策略。石头剪刀布游戏每次的互动过程和结果和下一次都不一样。你并不会每次都用同样的手法去赢对方,就是偶尔“作弊”,偶尔“老实”,玩到别人不知道你是“作弊”还是真的“老实”。意思是说,在10个标的中,你不会每次都老实,也不能每次都吹牛,你要偶尔吹牛,偶尔老实,让其他玩家不知道什么才是最好,这就是“混合策略纳什均衡”的含义。我们可以将纯策略视为混合策略的特例,即以100%的概率选择其中一个选项,以0%的概率选择其他选项。
因此,在回答混合策略纳什均衡时,不是回答“某个确切的行动”,而是回答采取每个行动的“概率”是什么,并将所有玩家的概率都表达出来。如果有人抓到你在玩剪刀,你的朋友如果继续玩石头,从长远来看会更好!如果你的朋友赢了,很明显你就输了,也就是说,从概念上讲如果你采取了某种选择,就会给其他玩家带来“某种行动”的优势。从直觉上讲,在一些特定的游戏或游戏设定中,别人的优势相对于自己造成了损害,那么如何出拳?从理论上讲,每个玩家都应该采取一套概率策略,这样其他玩家在任何行动中采取的预期效益都是相等的,在如何采取行动中不具有优势,对方就会束手无策,而这正是自己生存或胜利的关键所在[12]。
在石头剪刀布游戏中,一个混合策略的例子是用25%、50%和25%的概率出石头、剪刀或布。在游戏开始前,玩家根据这些概率随机决定选择哪种策略,读者可以自行考虑该情况下的策略矩阵。
定义3-10(混合策略预期收益)
定义3-11(风险中立)
风险中立是博弈论和金融学中的一个概念。它指的是一种心态,即个人在做投资决定时对风险漠不关心。这种心态不是来自计算或理性推理,而是来自情感上的偏好。一个具有风险中立态度的人只是不关注风险——不管这是否为一件不明智的事情。这种心态往往是情境性的,可能取决于价格或其他外部因素[13]。
如果一个玩家认为混合策略与该混合策略的预期价值一样好,那么他就被定义为风险中立。因此,一个风险中立的人根据其预期价值对混合策略进行排名。必须强调的是,我们对风险中性情况的关注不应该被认为意味着理性的个人应该是风险中性的,也不意味着风险中性在经验上特别相关。在这个阶段,我们假设风险中立,只是因为该假设产生了一种非常简单的对混合策略的偏好关系。
对于一个自私、贪婪和风险中立的玩家来说,可以把混合策略的预期价值作为该混合策略的效益。我们假设在图3-15所示的树状图的一般形式中,M和N是自私、贪婪和风险中立的,那么我们可以将策略形式的博弈与之联系起来,图3-16所示为树状图中博弈的策略形式。请注意,每个单元格内都有两个数字:第一个是M所认为的基础混合策略的效益(=预期价值),第二个是N所认为的基础混合策略的效益(=预期价值)。(https://www.daowen.com)
图3-16 方块还是梅花的策略形式效益矩阵
至此我们讨论了通过机会动作将随机事件纳入广义形式博弈的可能性。机会动作的引入产生了概率性的结果,从而产生了玩家如何对这些结果进行排序的问题。随机事件也可以出现在策略型博弈中,如下例。
网球比赛:M与N两位网球选手进行一局比赛,M为接球方,N为发球方。
这里,接球方M的效益是接球得分的概率,发球方N的效益是发球得分的概率,F是正手击球,B是反手击球。
图3-17所示的博弈没有任何纳什均衡。然而,如果我们扩展策略的概念,允许玩家随机选择,那么图3-17所示的博弈确实有纳什均衡。
图3-17 网球比赛的策略形式效益矩阵
让我们考虑一下发球方N的可能策略:如果发球方N总是瞄准正手,那么接球方M(预计N正手发球)将总是走正手,接球方M和发球方N的效益将分别为(90,10);如果发球方N总是以反手为目标,那么接球方M(预计N反手发球)将总是走反手,效益将是(60,40)。
发球方N如何才能做得更好?N可以通过混合正手和反手来提高他的得分。假设发球方N以50%的机会瞄准正手,以50%的机会瞄准反手(简写为50-50)。那么接球方M的效益为0.5×90+0.5×20=55(走正手)和0.5×30+0.5×60=45(走反手)。因为M最好是走正手,所以他会这么做,他的效益将是55。因此,如果发球方N使用50-50策略,他的效益将是45(请注意,效益加起来是100)。这对发球方N的表现来说已经是进步。
下一步是为发球方N寻找最佳混合策略。他如何才能表现最佳?
假设发球方N以概率q瞄准正手,以概率1-q瞄准反手。那么接球方M的效益是q×90+(1-q)×20=20+70q(走正手)和q×30+(1-q)×60=60-30q(走反手)。接球方M将向效益最大化的一方移动。因此,如果20+70q＞60-30q,他会走正手;如果20+70q＜60-30q,他会走反手;如果20+70q=60-30q,他会选任意一种方式。也就是说,接球方M的效益是20+70q和60-30q中较大的一个。
为了使自己的效益最大化,发球方N应该使接球方M的效益最小化。他可以通过把20+70q和60-30q设置为相等来实现这一点:
为了使他的效益最大化,发球方N应该在40%的时间内瞄准正手,在60%的时间内瞄准反手。在这种情况下,接球方M的效益将是20+70×0.4=60-30×0.4=48。换句话说,如果发球方N使用40-60策略,那么无论接球方M走正手还是反手(或在它们之间随机选择),接球方M的效益都是48。因此,发球方N的效益将是100-48=52。
接下来,让我们对接球方M进行类似的分析。如果接球方M使用纯策略只打一边,那么发球方N将瞄准另一边。假设接球方M以p的概率走正手,那么他的效益是p×90+(1-p)×30=30+60p(发球方N瞄准正手)和p×20+(1-p)×60=60-40p(发球方N瞄准反手)。发球方N将瞄准使接球方M效益最小化的一边。因此,如果30+60p＜60-40p,他会走正手;如果30+60p＞60-40p,他会走反手;如果30+60p=60-40p,他会选任意一种方式。也就是说,接球方M的效益是30+60p和60-40p中较小的一个。
为了使自己的效益最大化,接球方M可以通过把30+60p和60-40p设置为相等来实现这一点:
为了使他的效益最大化,接球方M应该在30%的时间内走正手,在70%的时间内走反手。在这种情况下,接球方M的效益将是30+60×0.3=60-40×0.3=48。因此,发球方N的效益将是100-48=52。
约翰·纳什(他与约翰·海萨尼和赖因哈德·泽尔腾共同获得了1994年诺贝尔经济学纪念奖)证明了以下定理。
定理3-1 每个有限博弈都至少有一个混合策略的纳什均衡。
我们如何才能找到一个给定博弈的混合策略均衡呢?第一个重要的观察是,如果一个人在均衡状态下,他应该从他所混合的策略中获得相同的预期效益(利用这一观察,我们可以很容易地找到2×2游戏中的混合策略纳什均衡)。第二个重要的观察是,如果一个纯策略被另一个纯策略严格支配,那么它就不能以正概率在纳什均衡中发挥作用。因此,为了寻找纳什均衡,我们可以删除所有被严格支配的策略,并将注意力放在所产生的博弈上。同样的推理也适用于所产生的博弈,我们可以重复剔除该博弈中所有严格占优策略。因此,我们有以下的观察。
为了找到一个博弈的混合策略纳什均衡,我们可以首先应用严格占优策略的重复剔除(3.3节),然后找到最终产生博弈的纳什均衡(可以看作原始博弈的纳什均衡,其中所有被删除的纯策略都被赋予零概率)。
一旦我们通过应用重复剔除严格占优策略程序简化了博弈,为了找到混合策略的纳什均衡,我们可以使用以下结果:在混合策略纳什均衡中,如果玩家以正概率玩两个或更多的纯策略,玩家没有动机使用该混合策略。因为如果他不随机化,而是使用支持其混合策略的一个纯策略(混合策略的支持是指被该混合策略赋予正概率的纯策略的集合),也就是说,如果他将任何纯策略的概率从正数增加到1,他会得到同样的效益。随机化的唯一目的是使对方在自己的两个或多个纯策略中无动于衷。
