4.5.3 无限次重复博弈
重复博弈策略:做好人,还是做坏人
对于有限次重复博弈,最后一次重复破坏了双方的合作,打破了均衡状态。无限次重复博弈不存在最终阶段,不同阶段收入的价值差异不容忽视。必须考虑贴现系数。博弈方选择和博弈均衡分析必须基于平均收入或总收入的现值。无限次重复博弈与有限次重复博弈的相似之处在于,试图“合作”并惩罚“不合作”,这是实现均衡的关键,也是构建有效均衡策略的重要支撑。
二人零和博弈的有限次重复博弈与一次性博弈没有本质区别。那么,在无限次重复的游戏中,情况会发生变化吗?
两人零和对策的无限次重复和有限次重复的结果是相同的,因为重复次数的无限增加不能改变原始博弈中博弈双方的利益对立关系,也不能创造潜在的合作利益。因此,在该博弈的无限次重复中,博弈双方仍然按照当时的最大利益行为,采用原博弈的混合策略纳什均衡。
混合策略纳什均衡分为两种情况。
①一种是博弈唯一的纳什均衡本身是帕累托效率意义上的最佳策略组合,已经符合各博弈方最大利益的情况,不需要继续讨论。
②另一种则是唯一的纳什均衡并不是效率最高的策略组合,因此存在潜在合作利益的囚徒困境式的博弈。
我们主要关注的是后一种情况。
囚徒的困境式博弈的无限次重复博弈:图4-25所示为寡头削价竞争博弈的无限次重复,其中H和L分别表示高价(不削价)和低价(削价)策略。
图4-25 两寡头削价竞争博弈
该博弈的阶段博弈有唯一的纯策略纳什均衡(L,L),双方效益为(1,1),这并不是帕累托效率意义上的最佳策略组合。在这个博弈的无限次重复博弈中,假设两博弈方都采用如下触发策略:第一阶段采用H,在第t阶段,如果前t-1阶段的结果都是(H,H),则继续采用H,否则采用L。(https://www.daowen.com)
不难证明,在贴现因素δ较大时,双方采用上述策略构成无限次重复博弈的一个子博弈完美纳什均衡。
首先证明双方采用的上述触发策略是一个纳什均衡。
如果博弈方2采用低价策略,那么在第一阶段能得到5,但会引起博弈方1一直采用低价的报复,而自己也只能一直采用低价策略,效益将永远为1,总效益为
如果博弈方2采用高价策略,则在第一阶段他的效益为4,下一阶段又面临同样的选择。
若记V为博弈方2在该重复博弈中每阶段都采用最佳选择的总效益当前值,那么从第二阶段开始的无限次重复博弈与从第一阶段开始的无限次重复博弈只相差一阶段,因而可以看成两个相同的无限次重复博弈过程,其总效益的当前值可折算成第一阶段的效益,为δ·V,当第一阶段的最佳选择是高价时,整个无限次重复博弈的总效益当前值为V=4+δ·V或V=4/(1-δ),因此,当
即δ＞1/4时,博弈方2会采用高价策略,否则会采用低价策略。即当δ＞1/4时,博弈方2对博弈方1触发策略的最佳反应是第一阶段采用高价策略。
由于从第二阶段开始的无限次重复博弈与从第一阶段开始的无限次重复博弈完全相同,因此第二阶段的玩家选择必须是高价策略,第三阶段也是如此,依此类推。只要玩家1采用上述触发策略,玩家2的最优选择总是高价策略。当然,如果玩家1背叛了高价选择,玩家2也必须以低价进行报复。因此,玩家2对玩家1的触发策略的完全响应策略是相同的触发策略。这证明双方采用的上述触发策略是一种纳什均衡。
因为重复博弈的子博弈就是重复一定次数后的所有重复博弈过程,因此,无限次重复博弈的子博弈仍然是无限次重复博弈。
博弈双方的触发策略在所有子博弈中仍然构成相同的触发策略,因此也必然是这些子博弈的纳什均衡。所以,上述触发策略的组合构成了整个无限次重复博弈子博弈的完美纳什均衡,均衡路径是博弈双方在每个阶段都选择高价策略。
通过对两寡头间降价竞争的无限次重复博弈的分析,可以看出在囚徒困境博弈中阶段博弈无法实现的潜在合作利益,在无限次重复博弈的情况下可以实现。
