4.5.2 有限次重复博弈
有限次重复博弈
有限次重复博弈的均衡解不同于同一无限次重复博弈的均衡解。例如,在囚徒困境的经典例子中,如果这一轮是最后一场博弈,则过程用逆向归纳法进行分析,那么有限次重复博弈的最后一场博弈与基本阶段博弈没有什么不同。而且对方的背叛不会遭到报复,因为没有下一场比赛,自然就没有进一步的合作,双方都会选择背叛。因此,有限次重复博弈以“总是背叛”结束,这是子博弈唯一的完美均衡结果。
有限次重复博弈是指在若干离散时间段或回合内重复进行同一阶段博弈的过程。每个时间段的索引都为0＜t＜T,其中T是周期总数,玩家的最终效益是他们每轮效益的总和,即有限次重复博弈G(T)的效益为T次阶段博弈效益的简单相加。
定义4-6(子博弈精炼解)
阶段博弈G有唯一的纳什均衡,则对任意有限的T次,重复博弈G(T)有唯一的子博弈精炼解,即G的纳什均衡结果在每一阶段重复进行,重复次数较少的有限次重复博弈可以不考虑不同阶段效益的贴现问题。
(1)两人零和博弈的有限次重复博弈
重复零和博弈不会创造出新的利益。如重复进行猜硬币博弈,不管两个博弈方如何选择,每次重复的结果都是一方赢一方输,效益相加为0。因此在零和博弈或者它们的重复博弈中,双方合作的可能性根本不存在。
(2)唯一纯策略纳什均衡博弈的有限次重复博弈[4]
如果原博弈唯一的纳什均衡没有达到帕累托效率,在有限次重复博弈中能不能实现合作和提高效率呢?
两阶段囚徒困境博弈:这里借用2.3节的囚徒困境博弈例子在两阶段场景下进一步叙述。
对于图4-19所示的囚徒困境游戏,考虑重复游戏两次。第二阶段采用反向归纳法进行分析。因为这一阶段仍然是囚徒困境博弈,结果是原始博弈的唯一纳什均衡(坦白,坦白),双方的利益为(2,2)。回到第一阶段,理性的游戏玩家会知道第二阶段的结果必须是(坦白,坦白),所以第二阶段的收入可以直接加到第一阶段的收入中,如图4-20所示。因此,就像第二阶段一样,最后两次重复的囚徒困境仍然等同于第一阶段囚徒困境博弈的简单重复。
图4-19 囚徒困境博弈
图4-20 递推归纳法和等价博弈
如果原博弈具有唯一的纯策略纳什均衡,则有限次重复博弈的唯一均衡是各博弈方在每个阶段都采用原博弈的纳什均衡策略。
定理4-1 设原博弈G有唯一的纯策略纳什均衡,则对任意正整数T,重复博弈G(T)有唯一的子博弈完美纳什均衡,即各博弈方每个阶段都采用G的纳什均衡策略。各博弈方在G(T)中的总效益为在G中效益的T倍,平均效益等于原博弈G中的效益。
三价博弈的重复博弈:设一市场有两个生产同质产品的厂商,他们的策略及对应效益如图4-21所示。该博弈有两个纯策略纳什均衡(M,M)和(L,L),而策略组合(H,H)并不是纳什均衡。一次性博弈不可能出现这个效率最高的策略,那么两次重复这个博弈情况会如何呢?
图4-21 三价博弈
两次重复该博弈的纯策略路径有9×9=81种,如果再考虑混合策略,路径数量就更大。在所有这些路径中,一定含有在第一阶段采用(H,H)的子博弈完美纳什均衡,双方的策略如下。
博弈方1:第一次选H;如果第一次结果为(H,H),则第二次选M;如果第一次结果为任何其他策略组合,则第二次选L。
博弈方2:同博弈方1。
证明:首先,第二阶段的策略组合(M,M)是原博弈的纳什均衡,没有一方愿意单独偏离;其次,虽然第一阶段的(H,H)不是原博弈的纳什均衡,如果一方偏离策略,单独采用M,可以增加1个单位的收入,但这样做的后果是另一方将在第二阶段采用带有“报复机制”的策略,偏离方将损失至少2个单位的收入。因此,偏差(H,H)不值得损失。合理的选择是坚持H,在这种情况下(H,H)是稳定的。第一阶段(H,H)和第二阶段(M,M)构成了博弈的子博弈,即完美纳什均衡。(https://www.daowen.com)
在上述重复博弈中,双方采取的策略是首先探索合作。一旦发现对方不合作,也会以不合作的方式进行报复,这被称为“触发策略”。上述触发策略的第二阶段为条件选择,即当第一阶段为(H,H),第二阶段为(M,M)且效益为(3,3)时;当第一阶段是其他8个结果时,第二阶段是(L,L),效益是(1,1)。
如果将(3,3)加到第一阶段(H,H)的效益中,并将(1,1)加到第一阶段其他策略组合的相应效益中,则原来的两个重复博弈将成为等价的一次性博弈,其效益矩阵如图4-22所示。
图4-22 两次重复三价博弈的等价博弈
经过这种转换,(H,H)成为纳什均衡,是两个博弈方的最佳策略组合(帕累托最优策略均衡),因此两个博弈方必然采用它。当重复次数较多时,平均回报率接近一次性博弈的回报率(H,H)。
上述触发策略有一个值得深思的问题,即报复机制的可信度。当上述触发策略对偏离均衡的玩家进行报复时,报复者也将遭受损失。如果报复者可以忽略过去的不满,仍然与另一方采用同样的M策略,对他也是有利的,但这将不可避免地导致上述触发策略是否真的可信的问题。
如果认为博弈者不可能真正采用触发策略,则无论第一阶段的结果如何,第二阶段都是(M,M),以实现纳什均衡,从而获得更大的效益,并使双方都受益(3,3)。
我们在第一阶段的所有效益上加(3,3),就得到这种情况下的两次重复博弈的等价一次性博弈,如图4-23中效益矩阵所示。
图4-23 三价博弈的等价博弈:不可信报复
这时第一阶段的最佳选择不是(H,H),而是(M,M)。这意味着两次重复博弈的均衡路径是两次重复(M,M),即原博弈效率较高的一个纳什均衡。
实际上,触发策略中报复机制的可信性是一个很复杂的问题,会受到相互预期等很多复杂因素的影响。例如前面图4-21讨论的博弈,如果试图合作的一方并不想报复偏离的一方,继续坚持采用H,而偏离的一方却因为害怕报复而采用了L,结果是心慈手软试图合作的一方再次受到重大损失。这种可能性的存在无疑会使报复机制实施的可能性大大增加。
如何提高触发策略的可信度呢?接下来看看下面这个例子中效益矩阵表示的这个静态博弈的两次重复博弈。
两阶段静态博弈:见图4-24,左方是参与人1的博弈行动,上方是参与人2的博弈行动。该博弈进行两次,双方第二次博弈的时候都清楚上一轮博弈的选择与结果。
图4-24 两阶段不唯一均衡博弈
可以看得出来(L1,L2),(R1,R2),(P1,P2),(Q1,Q2)有4个纳什均衡。然而在单次博弈下,双方无法预测对方会选择什么,但是如果是两阶段博弈,情况就不一样了。
从前文来看,两阶段博弈最有可能实现的合作是(M1,M 2),(R1,R2),因为在第一阶段博弈时(M 1,M 2)博弈能够实现利益最大化,然而在第二阶段博弈时,双方都可以选择对自己更有利的(L 1,M 2)或(M 1,L2),因为第二回合博弈后就结束了,尽管有一方“背叛”,但并不会得到惩罚。
那我们讨论一下如果第一阶段博弈就发生“背叛”的话,下一阶段会发生什么惩罚呢?
如果第一阶段参与者1不选择M1,那么参与者会在第二阶段选择Q2,因为当参与者2不再信任参与者1会再与其合作,那么参与者2会选择对自己最有利的Q2策略,参与者1在第二阶段为了效益只能选择Q1,参与者2会获得最多的利益。
如果第一阶段参与者2不选择M 2,同理参与者1会在第二阶段选择P1。
如果第一阶段参与者1不选择M1,参与者2不选择M2,那么第二阶段双方的选择是(P1,Q2)。
从效益上来讲,当两阶段都进行合作的时候,即(M1,M2),(R1,R2),合作双方的效益为5+4=9。对于背叛的情况,背叛者参与者1的效益是6+1=7,即(L1,M 2),(Q1,Q2),参与者2的效益是0+5=5。
双方的上述触发策略组合构成了重复博弈的子博弈完美纳什均衡,双方触发策略中的报复是可信的,因为双方触发策略中的报复机制不仅是纳什均衡,也有利于报复者自己。
事实上,市场竞争对手很难理解重复博弈的结构。制造商很难预测何时结束运营,也不清楚与竞争对手的竞争何时是最后一场比赛。因此,只要竞争周期足够长,并且竞争双方都希望在未来玩很多博弈,那么竞争的规模可能是无限的,从而导致制造商在竞争中相互合作。
