4.5.4 无限次重复古诺模型[5]
1.无限次重复古诺模型和支持垄断产量的条件
2.3节已经对古诺模型进行单阶段的叙述,下面开始解析无限次重复博弈的古诺模型。
假设市场出清价格为P=8-Q,其中Q=q 1+q 2为市场总产量,q 1和q 2分别为厂商1和2的产量(策略),设两厂商都无固定成本,边际成本都为2。
因此,一次性博弈存在唯一的纳什均衡(2,2),也称为“古诺产量”,用q c表示。如果该市场是一家厂商垄断,那么最佳垄断产量为q m=3,纳什均衡的总产量4大于垄断产量3。如果两厂商各生产垄断产量的一半1.5,则两厂商效益都会增加,但这在一次性静态博弈中不可能实现,在有限次重复博弈中也不可能实现。
在现实经济中,寡头之间年复一年的产量竞争可以看作无限次重复博弈。在无限次重复的古诺模型中,博弈方的行为和博弈的均衡又会怎样呢?
可以证明当贴现率δ满足一定条件时,两厂商都采用下列触发策略构成一个子博弈完美纳什均衡:在第一阶段生产垄断产量的一半1.5;在第t阶段,如果前t-1阶段的结果都是(1.5,1.5),则继续生产1.5,否则生产古诺产量q c=2。
双方都采用上述触发策略的博弈路径为每阶段生产产量(1.5,1.5),双方每阶段的效益都是π=4.5。设厂商1已采用该触发策略,如果厂商2也采用该触发策略,则每期效益为4.5,无限次重复博弈总效益的现在值为
如果厂商2偏离上述触发策略,则他在第一阶段(对于无限次重复博弈而言,在其他阶段也一样)所选产量应该是在给定厂商1产量为1.5的情况下,自己的最大利润产量满足
解之得q2=2.25。此时的利润为2.252=5.062 5,高于不偏离触发策略时第一阶段的效益1.5。但是,从第二阶段开始,厂商1将报复性地永远采用古诺产量2,这样厂商2也被迫永远采用古诺产量,从此利润为4。因此,无限次重复博弈第二阶段偏离的情况下总效益的现在值是
第一阶段生产q′;在第t阶段,如果前t-1阶段的结果都是(q′,q′),则继续生产q′,否则生产古诺产量q c,双方都采用该触发策略时博弈路径为每阶段都是(q′,q′),则两厂商每阶段的效益都为π′=(6-2q′)q′。
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但是,从第二阶段开始,因为厂商l必然报复性地选择古诺产量q c=2,因此,厂商2也只能采用古诺产量2,从此效益永远为πc=4,这样无限次重复博弈效益的现在值为
当
即(3q′-6)[3(9-δ)q′-6(9-5δ)]≤0时,厂商2才愿意采用上述触发策略,否则宁愿偏离。
将q m=3代入,解之得q d=2.25,本阶段效益为πd=5.062 5,当然第二阶段厂商1将采用x加以惩罚,厂商2只有也采用x,这样厂商1在下一阶段才不会再惩罚。
事实上,由于x不是古诺产量,因此,(x,x)肯定不是纳什均衡。
δ≥0.562 5/(4.5-6x+2x 2)时,厂商2在第一阶段才不会选择偏离。从该不等式看,厂商2是否偏离不仅取决于δ,还取决于厂商1用于惩罚的产量x,如果x的数值太小,则惩罚力度可能不够,不足以使厂商2真心与厂商1合作。
有限次重复博弈与无限次重复博弈的区别:
·无限次重复博弈没有结束重复的确定时间。在有限次重复博弈中,存在最后一次重复,这正是破坏重复博弈中局中人利益和行为的相互制约关系,使重复博弈无法实现更高效率均衡的关键问题。
·无限次重复博弈不能忽视不同时间效益的价值差异和贴现问题,必须考虑后一期效益的贴现系数,对局中人和博弈均衡的分析必须以平均效益或总效益的现值为根据。
无限次重复博弈与有限次重复博弈的共同点:试图“合作”和惩罚“不合作”是实现理想均衡的关键,是构造高效率均衡战略的核心构件。
