|5.3 贝叶斯纳什均衡|
在动态博弈中,参与者可以在每个可能轮到的选择处对各种策略进行选择,不完全信息静态博弈则可以看成先由Nature来选择每个参与者的类型,各个参与者再同时做出选择的动态博弈,也就是说,在不完全信息静态博弈过程中,所有参与人都是同时做出选择并行动的,没有机会看到别人的选择。虽然每个参与者都知道其他参与者相关类型的分布概率,但是由于不知道他们的真实类型,参与者自身就不可能知晓其他参与者的策略选择会是什么。不过每个参与者的选择和自身的类型都会有很大的关系,所以我们可以根据这样的关系来预测其他参与者的行动以及策略选择。在这里使用如下方式来定义参与者与可能的类型集合的关系,进一步地,这样可以得到静态贝叶斯博弈的定义。
定义5-1(不完全信息静态博弈)
G表示不完全信息静态博弈,则G={A 1,A 2,…,An;Θ1,Θ2,…,Θn;p 1,p 2,…,p n;u 1,u 2,…,un}中,参与者i的一个策略就是各种可能类型θi(θi∈Θi)的一个函数Ai(θi),参与者i会从行为空间A i中选择行动a i,每个这样的行动ai都对应一个参与者的策略函数A i(θi);条件概率p 1,p 2,…,p n中p i=p i(θ-i∣θi)表示给定自己属于θi的情况下,参与者i有关其余参与者类型θ-i∈Θ-i的不确定性。因此G={Γ;A 1,A 2,…,A n;Θ1,Θ2,…,Θn;p 1,p 2,…,p n;u 1,u 2,…,u n}也表示n人静态贝叶斯博弈。
在上述定义中,我们假定A i(θi)和ui是所有参与者的共同知识,也就是说虽然某个参与者i不知道其他参与者的类型θi,但是参与者i知道其他人的战略空间和支付函数是怎样依赖于他们本身的类型的。
不完全信息静态博弈经过海萨尼转换后的博弈就是静态贝叶斯博弈,因此静态贝叶斯博弈的步骤与上一小节提到的海萨尼转换的步骤相似。上述的定义中有这样一种可能:对于参与者i的某种信息,参与者j也可能会有。假设所有参与者的类型空间(也就是Θi)只含一个元素,这样不完全信息博弈就退化成完全信息静态博弈,所以完全信息静态博弈可以理解成不完全信息静态博弈的一个特例。
因此,在各个参与者类型已经确定且给定类型和策略选择关系的条件下,某个参与者的决策目标是要使自己的期望效益最大。也就是说给定参与者i只知道自己的类型θi,不知道其余参与者的类型θ-i,参与者i将会根据其他参与者的类型分布函数来选择a i(θi),使自身的期望效益最大。期望效益最大并不是通过简单的行为选择达到的,而是由各个参与者的类型及行为选择来决定的,当每个参与者都根据预测来达到期望最大值时,就会达到一种均衡——贝叶斯纳什均衡。有了上面参与者与类型函数的定义后,这里给出贝叶斯纳什均衡的定义。(https://www.daowen.com)
定义5-2(贝叶斯纳什均衡)[3]
其中,“*”既可以表示斗争,也可以表示默许。
要分析不完全信息静态博弈,核心是贝叶斯纳什均衡。在贝叶斯纳什均衡的定义中,可以看出当不完全信息静态博弈中参与者的一个策略组合是贝叶斯纳什均衡时,其他博弈方就不会想要改变自己的策略,包括策略中对应所有类型的所有行动。在一般情况下,对有限的不完全信息静态博弈(n是有限值,集合{A 1,A 2,…,An}和{Θ1,Θ2,…,Θn}都是有限集)在允许使用混合策略的情况下,贝叶斯纳什均衡总是存在的。
