5.4.1 密封价格拍卖
拍卖理论
1.一级密封价格拍卖
一级密封价格拍卖(first price sealed bid auctions)也称为暗标拍卖。在这种拍卖中投标人(bidders)同时将自己的出价写下来装入一个信封,密封后交给拍卖人,拍卖人同一时间打开信封,出价最高者是赢者,他按他的出价支付,拿走被拍卖的物品。这里每个投标人的战略都是根据自己对该物品的评价和对其他投标人评价的判断来选择自己的出价,其中赢者的支付等于他对物品的评价减去他的出价,其他投标人的支付为零。
这里先考虑两个人投标的情况。i,j=1,2,令bi≥0是投标人i的出价,v i是拍卖物品对投标人i的价值。假定v i只有i自己知道(即v i是投标人i的类型),但两个投标人都知道v i独立地取自定义在区间[0,1]上的均匀分布函数。投标人i的支付函数如下:
在上述支付函数中,i=1时j=2,i=2时j=1。第一种情况是投标人i的标价高于另一方的得益;第二种情况是双方标价相同,投标人i中标的机会是一半,期望得益为(1/2)×(v i-bi)=(vi-bi)/2;第三种情况是投标人i的标价低于另一方,对方中标,投标人i既无得也无失,收益是0。
在不完全信息静态博弈中,分析博弈情况首先要找其中的贝叶斯纳什均衡,找贝叶斯纳什均衡就必须先构建两个博弈方的策略空间,即根据类型而决定行为的函数关系。在现在这个暗标拍卖的博弈中,投标人i的策略为函数关系b i(v i),所有这种函数关系的集合构成投标人i的策略空间,则策略组合[b 1(v 1),b 2(v 2)]是一个贝叶斯纳什均衡,意味着投标人i的策略b 1(v 1)与投标人2的策略b 2(v 2)均是对方的最佳反应,对每个博弈方i的每个类型v i∈[0,1],bi(v i)都满足
式中bi即b i(v i),bj即b j(v j),i,j=1,2。
由于各种不同的函数形式、种类、参数水平,所以博弈方的策略空间就会包括大量可选择的策略,从其中找出全部的贝叶斯纳什均衡也就非常困难,甚至是不可能的。下面我们先分析博弈方的最优策略。假设博弈方的策略限制在线性函数范围中(也就是说在由线性函数构成的部分策略空间中),线性函数策略是指,在拍卖过程中的投标人标价由基价和自己估价的一个固定比例两部分组成,依旧假设只有两个人参与投标,其中b 1(v 1)=a 1+c 1v 1,b 2(v 2)=a 2+c 2v 2,其中a 1＜1,a 2＜1,c 1≥0,c 2≥0。这样的策略符合现实且具有合理性。
博弈方j的策略为b j(v j)=aj+cjv j,则对任意给定的v i,博弈方i的最佳策略b i需要满足
v i是服从标准分布的,所以bj=bj(v j)=aj+cjv j也服从标准分布,P{bi=bj}=0,上面的式子就可以化简为
参数bi的一阶条件就是(https://www.daowen.com)
这个反应策略函数在v i＜aj时是一条水平直线,当v i≥aj时,函数以1/2的斜率上升,所以这种情况下策略函数就会是分段线性函数,分段函数只有在0＜aj＜1的情况下才能够出现。若双方的策略是严格的线性函数,则需要设aj≤0。在这个条件下,博弈方i的最佳反应是
把这个式子与刚才的bj=bj(v j)=aj+cjv j进行比较,可以解出ai=aj/2,ci=1/2。
用相同的方法来分析j的最佳反应,可以得到aj=ai/2,cj=1/2。把博弈方i和j的最佳策略解联立可以解出a i=aj=0,ci=cj=1/2,也就是bi(v i)=v i/2,这样就可以看出每个博弈方的最佳策略都是把投标价格设置为自己对拍卖商品估价的一半。这样的话就反映出来一个基本矛盾,投标者标价越高就越容易中标,但中标获得的收益就会越小;反过来,投标者的标价越低中标机会也会越低,不过这样若是中标的话收益就会很大。所以在这个博弈中,博弈双方需要综合考虑这个矛盾,以此做出自己的最佳选择。
2.二级密封价格拍卖
二级密封价格拍卖(second price sealed bid auctions)与一级密封价格拍卖类似,只有一点不同,二级密封价格拍卖是将拍卖品卖给出价最高的投标者,不过要求他支付第二高的报价。1961年Vickrey提出了二级密封价格拍卖,也称Vickrey拍卖。不过在之后的研究中,经济学家们发现这样的拍卖方式早在1893年的集邮买卖中就已使用。Vickrey的原始论文主要是考虑单个不可分割的产品拍卖,仅在这种情况下,Vickrey拍卖和二级密封价格拍卖是等价的并且可以互换使用。
在具有私人价值的Vickrey拍卖中,每个投标人都通过投标来显示他们对待售物品的估价,最大化他们的预期收益。这些类型的拍卖有时用于机构抵押支持证券(MBS)市场中的指定池交易。在最普遍的情况下Vickrey拍卖具有决策的有效性(获胜者是拥有最高估价的投标人),因此,它提供了一个基线模型,其他类型拍卖的效率属性可以此为依据进行设定。
二级密封价格拍卖也有它自身的缺陷。它不允许价格发现(买卖双方在给定的时间和地方对一种商品的质量和数量达成交易价格的过程),也就是说,在没有连续拍卖的情况下,如果买家对自己的估值不确定,就不能发现市场价格,卖家可以使用先价出价来增加利润。在竞标过程中,所有投标人若进行串通,都各自向对方透露他们的估价,这样大家降低部分或者全部的估价,同时保留赢得拍卖的一方。二级密封价格拍卖很容易受到托拉斯竞价的影响,即买家在拍卖中使用多个身份来最大化自己的利润,它不一定能最大化卖家的收入,卖家在VCG拍卖中的收入甚至可能为零。如果举办拍卖的目的是让卖家的利润最大化,而不是在买家之间分配资源,那么二级密封价格拍卖可能是一个糟糕的选择。
在Vickrey拍卖中,单件不可分割物品的主要策略是让每位竞标者都以物品的真实价值出价。现在我们来分析一下Vickrey拍卖中投标人的收益情况,假设所有的投标人互相都不认识也不会串通。令bi是投标人i的出价,vi是拍卖物品对投标人i的价值,则投标人i的收益为
因此,综上所述,真实报价优于其他可能的报价策略(低报价策略和高报价策略),这是最优报价策略。
