5.4.3 几种拍卖之间的比较
一级密封价格拍卖与英国式拍卖的不同之处在于,每个投标人只能提交一个投标价格。此外,由于投标人无法看到其他投标者的投标,所以他们无法相应地调整自己的投标;一级密封价格拍卖被认为在战略上等同于荷兰式拍卖。有效的一级密封价格拍卖通常被称为公司和组织的采购招标,特别是政府合同和采矿租赁拍卖,它被认为可以通过竞争降低采购成本,通过提高透明度来降低腐败,即使它可能会导致已完成项目的事后额外成本更高以及完成项目的额外时间增加。
一级密封价格拍卖与二级密封价格拍卖的比较与等价证明如下。
表5-1将一级密封价格拍卖与二级密封价格拍卖进行了比较。
表5-1 一级密封价格拍卖与二级密封价格拍卖的比较
在表5-2拍卖者的收益中,投标者的估值是按照[0,1]独立均匀分布随机抽取的,当n=2时,在第一价格拍卖中拍卖者收到两个均衡出价中的最大值,即max(a/2,b/2);在第二价格拍卖中,拍卖者收到两个真实出价中的最小值,即min(a,b)。在上述两种情况下,拍卖者的预期收入都是1/3,这是收入等价定理的一个特例,仅在投标者的估值在统计上独立时成立,当这些估值相关时,我们有一个共同价值拍卖,在这种情况下,第二价格拍卖的收入通常高于第一价格拍卖的收入。如果最终出价不足以让卖家满意,则出售的物品可能不会售出,即卖家保留接受或拒绝最高出价的权利。如果卖方向投标人公布底价,则为公开底价拍卖;相比之下,如果卖家在售前不公布底价而只在售后公布,则为秘密底价拍卖。
下面我们证明一级密封价格拍卖与二级密封价格拍卖的收入等价性。在这里我们考虑只有两个投标人参与投标的情况,投标人分别设为i,j,并且假设每个投标者对商品的价值都是从支持[0,1]的独立均匀分布中得出的。投标者根据他们的优势策略出价,其中投标者i的估值为v,商品对于投标者j的价值为x,如果x＜v,那么估值为v的投标者i获胜。假设v是高价值,则获胜者的支付价格在区间[0,v]上均匀分布,因此获胜者的预期支付价格为(https://www.daowen.com)
那么在一级密封价格拍卖中,估价为v的投标者的均衡出价为
也就是说,在一级密封价格拍卖中,获胜者的收益与二级密封价格拍卖中的预期收益相等。假设第二个投标者根据策略B(v)=v/2出价,其中B(v)是投标者对商品的估值v的出价。我们需要证明投标者i的最佳响应是使用相同的策略。首先请注意,如果投标者2使用策略B(v)=v/2,那么投标者j的最高出价为B(1)=1/2,因此投标者i以1/2或更高的任何出价获胜的概率为1。令b表示投标者的实际出价,其中b∈[0,1/2],令投标者j对拍卖品估计的价值为x。若B(x)=x/2＜b,也就是说如果x＜2b,在二级密封价格拍卖值均匀分布的假设下,则投标者i获胜的概率为w(b)=2b,因此他的预期收益为
可以解出U(b)的最大值为b=v/2=B(v),由此可以得到一级密封价格拍卖和二级密封价格拍卖具有等价性。
