7.2.2 二人讨价还价博弈模型
为了由浅入深地介绍讨价还价博弈,也方便读者从简单的案例分析入手,本节将以完全信息下的讨价还价为例,重点介绍二人轮流出价的讨价还价博弈模型。
1982年,马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)用完全信息动态博弈的方法,对基本的、无限期的完全信息讨价还价过程进行了模拟,并据此建立了完全信息轮流出价讨价还价模型,也称为鲁宾斯坦模型。
在鲁宾斯坦模型中,他以两个参与人分割一块蛋糕为例,使这一过程模型化。在这个模型里,两个参与人分割一块蛋糕,参与人1先出价,参与人2可以选择接受或拒绝。如果参与人2接受,则博弈结束,蛋糕按参与人1的方案分配;如果参与人2拒绝,他将还价,参与人1可以接受或拒绝,如果参与人1接受,博弈结束,蛋糕按参与人2的方案分配,如果参与人1拒绝,参与人1再出价。如此一直下去,直到一个参与人的出价被另一个参与人接受为止。因此,这属于一个无限期完美信息博弈,参与人1在时期1,3,5,…出价,参与人2在时期2,4,6,…出价[4]。
读者可以设身处地和同伴一起模拟这个游戏,看看如何获取最大收益。这是一个简化的模型,现实博弈中我们仍需要考虑很多影响因素。在大多数情况下,无限期的博弈是不存在的,因为人们常常追求短期内的获益,时间过长的谈判博弈往往无法达成一致,反而会让双方利益受损。
从上述博弈的内容来看,这是一个双人无限期完全信息动态博弈,我们不难发现这样几个性质。
①有效性。子博弈完美纳什均衡是帕累托有效的。
②稳定性。在子博弈完美纳什均衡中,博弈方的策略是稳定的。也就是说,当轮到某一方做选择时,他总是使用同样的规则(但决策结果不一定相同)来应对另一方的行为。
③先动优势。可以发现,这个博弈中唯一不对称的就是参与人1先采取行动,即参与人1有着先动的优势。
④无耐心的比较静态(comparative statics of impatience)。这是指在均衡中,一个行为人越是没有耐心,则均衡就越对其不利。从行为人的偏好特征来看,这一点具有相当的合理性。
更具体地,我们对鲁宾斯坦模型还有如下讨论。
(1)均衡结果与贴现因子的关系
耐心优势:有绝对耐心的人总可以通过拖延时间(从不接受对方出价而是持续出价)来独吞蛋糕。
(2)无贴现,有固定讨价成本
假设讨价还价博弈中每期支付固定的成本c。
延期成本相等,c 1=c 2=c,任何使两方收益不少于c的分配都可以被某个完美均衡所支持。
延期成本不等,c 1＜c 2,延期对参与人2不利,参与人1将得到整个蛋糕。
延期成本不等,c 1＞c 2,延期对参与人1不利,参与人1将得到c 2,参与人2将得到1-c 2。
为了更清楚、更直观地研究合作博弈的讨价还价,现在我们考虑这样一种情况:
项目合作谈判(两人利益分配):假设讨价还价主体为两个人:小陈和小丁。二人将共同努力完成一个项目并拟获得收益10 000元,现在二人将针对每个人获得多少而展开讨价还价博弈。
在具体分析之前,我们做几点说明[5]。
说明1:贴现因子。贴现因子在数值上可以理解为贴现率,就是1个份额经过一段时间后所等同的现在份额。这个贴现因子不同于金融学的贴现率之处在于,它是由参与人的“耐心”程度所决定的。“耐心”实质上是指参与人的心理和经济承受能力,不同的参与人在谈判中的心理承受能力可能不相同,心理承受能力强的可能最终会占得更多的便宜;同样,如果有比其他参与人更强的经济承受能力,也会占得更多的便宜。在本节中贴现因子(又叫折扣率)用σ表示。
说明2:先动优势与后动优势。在讨价还价的谈判中,先出价的一方和后出价的一方有着各自的优势,即所谓的先动优势和后动优势,这两种优势的发挥取决于前面提到的耐心优势。先动优势通过模型可清楚地看出来,为方便起见,假定σ1=σ2＜1,则参与人1的份额总是大于参与人2的份额(参与人1先出价),始终处于有利的位置。也就是说,在双方都没有足够耐心的情况下,先出价的总是处于有利位置。然而,在双方都有足够耐心的情况下,即当σ1=σ2=1时,后出价的一方占据了有利位置。这是因为,参与人最后出价时,他将拒绝任何自己不能得到整个份额的出价,一直等到博弈的最后阶段得到整个份额为止。这种后动优势只是在理论上有意义,因为现实中的参与人都不可能永远有足够的耐心。
说明3:尽快接受原则。由于贴现因子的作用,所以参与人在本期所得的份额X和下期所得同样份额X在价值上是不相等的,下回合的X经过贴现作用只能等于本期的σX(0＜σ≤1),即小于等于本期的X(没有贴现因子作用时取等于)。因此,参与人应尽快接受对方合理的报价,否则,即使在下一轮博弈中获得相同甚至更多的份额也只能小于本期的份额。
回到前面的两人利益分配问题,可以细分为这样两种情况:有限次博弈和无限次博弈。
1.有限次博弈
我们假设两人轮流出价的回合数有限,为方便说明,令回合数T为3。注意:第三回合小丁(先出价方)的方案有强制力,即进行到该回合小丁提出的分配方案小陈必须接受,并且这一点两博弈方都是清楚的。
(1)无贴现因子作用,σ1=σ2=1
小丁先出价。由于回合数为奇数,对于小陈来说,接受或拒绝没有差异,因此所有的均衡都是弱的。这些均衡结果只决定小陈最后决定接受的时间。因为在奇数回合中,小丁享有最后一期的出价权利,当他要求得到全部收益时,即使小陈拒绝,小陈仍然一无所获,小丁则获得全部收益。若此博弈只有一轮,那么小陈根本没有机会提出反驳意见。假设小丁仍然先出价,但是回合数为偶数,博弈的结果就是小陈将得到全部收益。在后例中,很明显看到一个最终行动者优势的存在,这就是后动的博弈优势:参与者拒绝所有自己不能得到全部的出价,直到自己出价得到整个蛋糕。
(2)有贴现,且贴现对等,0＜σ1=σ2=σ＜1
有贴现的情况就是讨价还价每多进行一个回合,受谈判费用、时间成本、利息损失等因素的影响,双方的利益都要打一个折扣,在上一轮相同的份额X不再有相同的价值,而是打了一个折扣,“贬值”为σX。假设条件双方的折扣率均为σ(0＜σ＜1),回合数T=3。对于此种三回合情况可用下面的方式加以描述。
·第一回合:小丁的方案是自己得X 1,小陈得10 000-X 1。小陈若接受,二人的收益分别为X 1和10 000-X 1,谈判结束。如果小陈拒绝,则开始第二回合谈判。
·第二回合:小陈的方案是小丁得X 2,自己得10 000-X 2。小丁若接受,二人的收益分别为σX 2和σ(10 000-X 2),谈判结束。如果小丁拒绝,则开始第三回合谈判。
·第三回合:小丁自己得X,小陈得10 000-X,由于回合数的限制,所以此时小陈必须接受,最后二人的实际收益分别为σ2 X和σ2(10 000-X)。
(3)有贴现,但不等,0＜σ1≠σ2＜1
假设小丁的折扣率为σ1,小陈的折扣率为σ2,0＜σ1≠σ2＜1并且假设两人知道对方的折扣率,回合数T仍为3。(https://www.daowen.com)
这种情况下的博弈和贴现相等情况类似,可以用逆推归纳法来分析这个博弈。
第三回合:已知双方的收益分别为σ21 X和σ22(10 000-X)。
第二回合:小陈在第二回合会出能让小丁接受的,也是可能使自己得益最大的X 2,应满足使小丁得益
X=σ1 X 2,即X 2=σ1 X,则小陈的得益为σ2(10 000-X 2)=σ2(10 000-σ1 X)。
第一回合:小丁只要令10 000-X 1=σ2(10 000-σ1 X),即X 1=10 000-σ2(10 000-σ1 X)即可。这样第一回合与第二回合小陈的得益相同,而小丁的得益比第二、三回合的得益更多。
因此对于这个博弈,小丁会在第一回合出价X 1=10 000-σ2(10 000-σ1 X),小陈一定会接受(尽快接受原则),最终二人的得益分别为10 000-σ2(10 000-σ1 X)和σ2(10 000-σ1 X)。这就是T=3时讨价还价有贴现情况的均衡解。
通过以上分析,我们很容易得到以下结论。
①当σ1=σ2=0时,两人均无耐心,均衡收敛于[10 000,0],先出价者获得全部收益。
②当σ2=0时,参与人2必定一无所获。无论σ1如何,均衡结果总为[10 000,0]。
③当σ1=0时,参与人1如果在第一回合没有收益,其最终收益必定为0。因此,参与人1将给出参与人2可能得到的最高收益,使其在第一轮就接受出价,即均衡结果为[10 000(1-σ2),10 000σ2]。
④当σ1=σ2=1时,双方均有无限耐心:
·当t=1,3,5,…时,均衡收敛于[10 000,0]。
·当t=2,4,6,…时,均衡收敛于[0,10 000],即后发优势,参与者2拒绝所有自己不能得到全部的出价,直到自己出价得到所有收益。
2.无限次博弈
无限期的谈判博弈是指,只要双方不接受对方的出价方案,谈判就会不断地进行下去,没有结束期限的限制。由于无限期讨价还价博弈会持续很久,所以折扣必然存在,这里我们直接讨论有贴现的情况。
(1)对等贴现
先假设整个博弈有一个逆推归纳解,小丁和小陈分别得益X和10 000-X,即小丁在第一回合出价X,小陈接受。如上所述,夏克德(Shaked)和萨顿(Sutton)曾提出在无限期讨价还价博弈中,从第三回合开始还是从第一回合开始结果都是一样的,本例直接引用这一结论来解决问题(后续将详细说明)。根据这个理论,上述逆推归纳的解也应该是从第三回合开始的博弈结果,即第三回合也是小丁出价X,小陈接受,而且这个结果是最终的结果。
(2)不等贴现
假设小丁的折扣率为σ1,小陈的折扣率为σ2,0＜σ1,σ2＜1。小丁想分得X 1份额,并想使自己的这份X 1最大化,但小丁必须考虑小陈的收益和决策。若X 1过大而遭到对方拒绝,则谈判一定会继续进行,小丁的愿望成为泡影。在第一回合讨价还价中,小丁要保证给小陈的10 000-X 1不小于对方还价后的10 000-X 2贴现到所在轮数的价值。
之后第二轮讨价还价开始,小陈出价X 2,同理也要考虑小丁会还价,所以小陈要保证小丁下一轮再出价贴现的价值不小于自己当前给出的分配,又要尽量使自己的收益最大化。小丁第三回合再出价时,又会重复上述过程。小丁和小陈都会在每轮出价时考虑自己利益的最大化和对方接受的可能性。
事实上,经过多轮的分析,我们可以发现:小陈获得的收益与自己的折扣率呈增函数关系,而与对方的折扣率呈减函数关系(下面我们还会以图表的形式以及推导的结果进一步说明),这就是Rubinstein针对此问题曾提出的解。
当讨价还价博弈是无限次进行时,逆向归纳法不能直接使用,但可以运用逆向归纳法的思想以及博弈树在自身结构上的自相似性(每一个子博弈在结构上都相似于原博弈),解出其唯一的子博弈完美纳什均衡,这就是著名的鲁宾斯坦定理。
我们已经反复说明,对于T期无限次博弈而言,我们无法使用逆向归纳法进行论证解答。但根据Shaked-Sutton定理(1984年)我们可以知道,从参与人1(小丁)开始的每一个子博弈都等价于t=1开始的整个博弈。假定在某一t期博弈结束时,小丁可以得到的最大份额是M(从这里开始,我们将份额视为百分比,总和为1),我们可以得到表7-1。
表7-1 二人讨价还价无限次博弈举例
在t-2时刻,我们可以看到小丁得到的最大份额是
当σ→1时,结果趋近于[0.5,0.5]。
当σ→0时,结果趋近于[1,0]。
下面介绍不完全信息讨价还价。
事实上,我们上面讨论的都是完全信息讨价还价博弈的基本模型,但是在现实生活中,由于博弈方的身份不对等、知识掌握不对称等约束条件,所以许多问题是完全信息模型无法解释的。例如HR和面试者之间的工资协商、地区冲突中的谈判等,甚至包括我们讨论的简单的日常讨价还价过程。因而,同非完全信息非合作博弈理论的发展原因一样,讨价还价理论也引入了信息的非完全性。比如,W.Samuelson讨论了一方比另一方更了解蛋糕大小的非对称情况,鲁宾斯坦主要分析了两类买方和一类卖方的无限期模型以及偏离均衡的一些假设条件,等等。这些模型更多地关注博弈双方中,只有一方掌握非对称信息的情况。但是在实际中,更多的情景满足讨价还价双方都存在着双向非对称信息。
阿布鲁和格尔研究了双边不完全信息、双边要约和具有多种类型的以声誉模型为基础的讨价还价模型[6]。在该模型中,两边都有多个不同的类型(而鲁宾斯坦研究了两类卖方和一类买方的非对称情况)。和之前讨论的完全理性博弈方不同,博弈者以一定的概率采取一些看起来非理性的策略,从而在和对手的博弈中得到策略上的优势。虽然博弈双方的耐心程度仍然重要,但是最关键的因素变成了双方可能拥有的规则、知识、协定的不确定性,也就是对手采取策略的倾向不确定性。
关于不完全信息的讨价还价博弈有大量的文献和综述,读者可以自行查阅了解,并试分析其与完全信息讨价还价博弈模型的关联和不同。
