2.4.6 边划分理论
区别于静态的边渗流理论，边划分理论可以描述SIR 模型的动态演化。边划分（Edgebased compartmental）理论基于空穴这一概念，即一个处于空穴状态的节点i只能够被邻居节点传染，而不能传输疾病给邻居节点，空穴概念的引入使得边划分理论把握住了一些邻居状态间的动态关联性。在边划分理论中，假设沿着每条边的感染概率是相同的。
令s（t）、ρ（t）、r（t）分别为在时刻t，易感者、感染者、恢复者的比例，边划分理论描述了一个被选中的根是易感的概率演化。首先，随机选取一条边，在给定方向的末尾指向的节点j便是被选中的根，节点j处于空穴状态，不传输任何信息给它周围的邻居节点（用i表示）。令Φ（t）为邻居节点i不传输信息给节点j 的概率，表示为
式中，ξS（t）、ξI（t）、ξR（t）表示邻居节点分别为易感态、感染态和恢复态时不向根节点j传输信息的概率。那么，如果根节点j的度为k，则它处于易感状态的概率为Φ（t）k，因此，系统中易感节点的比例可以表示为
根据空穴的概念，根节点j的邻居节点i将被其相应的邻居节点感染，但除了根节点j。令
表示在无关网络中，一条边连接到度为k 的节点的概率，则节点i保持易感状态的概率为
在离散的更新方案中，存在两种情况可以增加ξR（t）：①感染节点不向j传输信息，概率为1-β；②感染节点以概率1恢复。因此，ξR（t）的演化方程为
在时刻t，一条随机的边不传输信息的概率的变化率等价于感染的邻居节点通过边传输信息给它们的易感邻居节点的概率，于是有
结合式（2-4-28）和式（2-4-29），可以得到
已知初始条件Φ（0）=1和ξR（0）=0，则ξR（t）可表示为(https://www.daowen.com)
因此，可将Φ（t）的演化方程进一步写为
当达到稳态时刻（t→∞），满足
是此微分方程的一个平凡解，而非平凡解只有当β＞βc 时才会出现，βc 为传播阈值。使用与前文类似的方法，可以求解传播阈值为
相应地，在连续的更新方案中，ξR（t）的演化方程将改写为
同样的方法可以得到ξR（t）=[1-Φ（t）]/β，以及疾病暴发的传播阈值为
尽管与异质平均场方法一样，边划分理论也只使用度分布来描述网络结构，但边划分理论的预测效果要更好。本书汇总的论文中就有很多使用边划分理论来进行问题分析与求解，例如：
《双层复杂网络上具有有限接触能力的信息传播》提出了基于边的划分理论，用来分析接触能力有限的双层阈值模型。通过比较三个状态节点在双层网络中的密度，从理论上分析了具有有限接触能力的双层网络信息传输机制，同时，也可以发现理论分析结果和模拟仿真结果很吻合。
《双层加权复杂网络上的信息传播》提出了一种基于阈值模型的双层加权网络信息传播模型，为了定性地理解权重分布异质性对信息传播的影响，提出了一种基于边缘权重的划分理论，最终发现理论结果和数值模拟良好的拟合。
这里只做简单地介绍，读者可深入地阅读论文来理解具体细节。