2.4.5　成对逼近方法

2.4.5　成对逼近方法

成对逼近（Pairwise Approximation，PA）方法考虑了成对节点状态的演化，而不是单个节点状态的演化，以弥补动态信息传递法无法在非树形网络准确地描述动力学关联性的不足。假设i和j 被感染的概率分别为ρi（t）和ρj（t），令xi（t）为节点i处于x 状态的概率，又令ψxixj（t）表示i和j 分别处于xi和xj的概率，x∈{S，I}。这里要注意的是，如果忽略节点状态之间的动态关联，即i和j 的状态相互独立，ψxixj（t）=xi（t）xj（t）。同时，ψxixj（t）满足下列条件：

不难推出，易感态节点i被感染的概率为那么ρi（t）的演化方程为

式（2-4-22）右边的第一项是节点i从感染态恢复的概率，第二项是节点i被其邻居感染的概率。同时，ψSiIj（t）是动态变化的，以下因素会导致它的变化，其中，前三个因素使其减少，后两个因素使其增大：

（1）节点j从感染态恢复；

（2）节点i被邻居节点j 以概率βψSiIj（t）感染；

（3）节点i被其他邻居节点l以概率感染；(https://www.daowen.com)

（4）节点i以概率ψIiIj（t）从感染态恢复；

（5）易感节点j被它的邻居节点（不包括i）以概率感染。

其中，N（i）表示节点i的邻居集合，ψIlSiIj（t）表示节点l、i、j分别处于感染态、易感态和感染态的概率；N（j）表示节点j的邻居集合，ψIlSiSj（t）表示节点l、i、j分别处于感染态、易感态和易感态。基于以上描述，ψSiIj（t）的演化方程为

为了求解式（2-4-23），做出以下近似：

把上述近似等式结合式（2-4-23），可以得到N+E 个方程。为了得到疾病传播阈值，把式（2-4-24）在初始条件附近线性展开，通过与前面理论中类似的推导方法可得出传播阈值，这里不详细展开。

成对逼近方法使用邻接矩阵准确地描述了网络结构，通过成对考虑节点的状态来获取邻居节点间的动态关联，大量的仿真实验表明成对逼近理论的预测结果相较平均场理论、异质平均场理论更为准确[58]。但成对逼近理论的计算复杂度较高，求解上述数值方程十分消耗时间，这也阻碍了它的广泛应用。