10.3　双层加权复杂网络上的信息传播

10.3　双层加权复杂网络上的信息传播

1.摘要

近年来，关于社交网络的信息传播机制受到了广泛关注。先前的研究通常将社交关系简化为二值，尽管在实际社交网络中，不同层节点间的不同亲密关系会影响信息的传播。非冗余信息存储的增强在信息传播中也起着重要作用。本节提出了一种基于阈值模型的双层加权社交网络信息传播模型。为了定性地理解权重分布异质性对信息传播的影响，提出了一种基于边缘权重的划分理论。本节发现，在任意采纳阈值下，减少权重分布异质性可以促进信息传播并促进整体采纳，但无法改变最终采纳大小对单位传输概率的依赖性。本节还发现，当初始种子比例小于临界值时，信息无法在网络中爆炸性地传输。增加初始种子的比例或度分布的异质性将改变从间断变为连续状态最终采纳大小对单位传输概率的依赖模式。

2.介绍

随着互联网的快速发展，社交网络在人们的生活中变得越来越普遍。即时通信程序[261]、微博[262]、Facebook[263]和其他社交软件提供了强大的信息共享方式[264，268]，占用了人们的碎片时间，也提供了极大的便利。这种扩展和便利不仅加速了信息传播[25]，而且改变了新兴复杂传播模式背后的基本机制。因此，信息传播过程建模对于分析新闻传播模式[245]、促销产品[265]，阻止病毒传播[266]以及控制谣言的传播[267，268]尤为重要。为了探索各种可能因素对信息传播机制的影响，近年来，研究人员提出了大量模型，其中最常见的模型是流行病传播模型[2，269-272]，例如SIS模型和SIR 模型。同时，诸如独立级联模型（ICM）和阈值模型[69]等经典模型也越来越受到关注。基于这些模型，研究人员确定了许多可能影响信息传播机制的潜在因素，包括源节点（source node）[171]、社区结构（community structure）[273]，无症状感染（asymptomatic infection）[227]，核心（coreness）[274]等。

尽管以前的研究人员通常将社交网络中的关系建模为二值，但是由于现实中社交关系存在亲密性差异[275]，考虑连边权重的网络模型与实际社交网络会更加一致。例如，人们更容易接受亲戚和官方媒体的信息。由于权重分布的异质性对信息传播的影响，应将这些关系建模为加权连边[276]。另外，由于社交网络的多样性，人们在不同的网络中具有不同的联系关系和权重分布。以前的研究人员普遍研究了单层网络上的建模，但是两层网络上的模型更为重要，因为两层网络之间的权重分布也影响信息传播。此外，节点状态的变化可能需要多个邻居的影响。Centola 等人[277]在传播过程的研究中引入了另一个维度：社会强化[278，279]。此外，他们提出了复杂传播的思想，在这种传播中，节点的采纳需要与多个被采纳的邻居进行联系。非冗余信息的记忆会影响信息的采纳过程，因此，结合记忆特征的社会强化对于描述和理解现实世界中的信息传播过程至关重要。

在本节中，为了研究权重分布的异质性和非冗余信息对社会传播的促进影响，提出了一种基于双层加权网络的信息传播模型。本节使用阈值模型来模拟非冗余信息对信息传播的增强，并提出了一种基于边缘权重的划分理论来定量分析信息传播的机制。通过理论预测和数值模拟进行实验，结果有很好的一致性。根据实验结果，本节发现减少权重分布的异质性可以加速信息的传播，但不能改变最终采纳规模的增长模式。本节还发现，存在一个临界初始种子分数，低于该分数将不会有信息传染的暴发。增加初始种子的比例或度分布的异质性可能会改变从间断变为连续状态最终采纳大小对单位传输概率的依赖模式。此外，度分布的不均匀性不会严重影响减少权重分布异质性对信息传播的影响。

3.模型描述

为了探索在加权双层网络上的信息传播机制，本节考虑一个度分布为P（k），权重分布g（w），大小为N 的群体。在所采用的双层网络中，A 和B 分别代表两个不同的通信网络。在实验中，本节使用众所周知的ER 网络模型[119]和SF网络模型[280]作为物理基础结构。A层和B层的采纳阈值分别是TA和TB。在双层网络中，节点相互关联，并且一对相互关联的节点代表两个不同社交子网中的同一个人。在每个子网中，节点间的连边表示个体之间的关系。考虑到社会强化对信息传播过程的影响，加权网络上的信息传播过程被描述为易感-采纳-恢复（SAR）模型[253]。在SAR 模型中，每个节点只能处于以下三种可能状态之一：易感态（S）、采纳态（A）或恢复态（R）。处于易感态的节点不采纳信息，但是它们可能被邻居节点感染。处于采纳状态的节点被感染，可以将信息传输给其易受感染的邻居。处于恢复状态的节点对信息失去兴趣，无法将信息传播到其易感邻居。在双层网络中，只要节点在网络的一层中采纳了信息，该节点在另一层中也进入采纳状态。

为了反映不同网络之间权重分布的异质性，双层加权网络中两个子网的边缘权重分布遵循两个独立的边缘权重分布gA（w）和gB（w）。当被采纳节点i的邻居j 处于易感态时，它将被感染的概率

式中，表示第i个和第j 个之间的边的权重，βX，X∈{A，B}是子网中的单位传输概率。给定随单调增加。采纳态A 态节点更易于传输信息到联系更紧密的邻居。考虑到度的相关性会影响信息传播，本节基于两个独立的度分布利用不相关的配置模型来构建双层网络，其中分别指示A 层和B层中的节点i的度。本节设置节点i的度向量为由于度分布彼此独立，因此联合度分布可以表示为此外，考虑到社会强化，被用作节点成功接收信息的累积数量，一旦节点j成功从A 层或B层的采纳状态邻居接收到信息，将增加1，并且该邻居节点之后将不会传播相同的信息到节点j，当时，易感状态节点j将进入采纳态。

基于上述原因，详细的信息传播过程如下。最初，随机选择一小部分ρ0比例的节点作为采纳态A 态节点（种子）。在每个时间步骤，信息首先从每个采纳态A 态节点传播到其所有邻居。当采纳节点i的邻居点j 处于易感态S态时，根据式（10-3-1），使用表示A 层中的节点j被节点i通过权重为的边感染的概率，而表示B层中节点j被节点i通过权重为的边感染的概率。对于信息传输的非冗余，在成功传输信息之后，同一连边禁止进行信息重复传输。如果采纳态A 态节点成功将信息传输到其易感态S态邻居节点j，在层A 中接收到的节点j的累计接收信息数将增加1。之后，A 层和B层中的节点j将累积接收信息数与其采纳阈值TX比较。A 层中的个体iA和B层中对应的个体iB具有相同的状态。因此，当累积的信息数超过两层的任何一个阈值时，易感态S态节点j可以变为采纳态A 态。这意味着采纳概率是一个阶跃函数。由于每个节点通过其从邻居接收的累积信息条数来确定信息的采纳，因此它的传播动力学是一个非马尔可夫过程。同时在每个时间步骤，已采纳的节点可能会对信息失去兴趣，以概率γ变成恢复状R 态，而且不能继续传递信息给它的邻居。最后，当网络中没有采纳态节点时，传播过程将结束。

4.理论分析

考虑到非冗余信息存储的社会强化，基于参考文献[9，281]，本节提出了一种基于边权划分的方法来分析本节中提出的模型。通过比较具有强权重异质性的双层网络中三种状态节点密度的变化，从理论上分析了信息传播机制。

假设一个节点处于空穴状态[260]，这意味着它只能接收来自采纳状态邻居的信息，而不能向它的易感态邻居传播信息。由于边权随机分配，到时刻t时，一个节点没有被X 层中邻居告知的概率可以表示为

在这里表示节点在时刻t通过第X 层中权重为w 的边不被传染的概率，gX（w）表示第X 层的权重分布。

到时刻t时，度为的易感态S态节点i接收到信息数为mA和mB的概率可表示为

考虑到来自于非冗余信息记忆的强化效应，采纳函数可以表示为

式中，TX是X 层中节点的采纳阈值。根据10.2节中的模型，节点处于易感态表示在A 层和B层它接收到的信息条数小于相应的阈值，即同一时刻mA＜TA和mB＜TB。到时间t，信息数积累到mA和mB以后，度为）的易感态节点仍然处于易感态的概率可以表示为

定义到时刻t时X∈{A，B}层易感态S态节点的信息累积概率为

这样易感态S态节点在t时刻的比例为

在初始条件下并且结合式（10-3-14）和式（10-3-15），可以得到：

将式（10-3-13）和式（10-3-16）替换为式（10-3-10），可以得到

式（10-3-17）中，根据式（10-3-14）用可以得到

易感态S态的节点密度S（t），采纳态A 态的节点密度A（t）以及恢复态R 态的节点密度R（t）由下列公式给出：

设置可以得到权重w 的边在整个传播过程不传播信息的概率为

在式（10-3-3）和式（10-3-4）中插入可以得到：

为了更好地理解，把θA（∞）=fA（θA（∞），θB（∞））写作：

并令θB（∞）=fA（θA（∞），θB（∞））写作：(https://www.daowen.com)

当θA＜1和θB＜1时，式（10-3-23）与式（10-3-24）相切，存在一个不连续的增长模式。此外，临界条件可由如下方程获得：

由于上述理论分析的复杂性，本研究采用一个TA=TB=1的特例来说明一般理论。在这种情况下，式（10-3-11）和式（10-3-12）简化为

把式（10-3-26）和式（10-3-27）代入式（10-3-21）并获得：

在这里，相应地，把式（10-3-28）和式（10-3-29）代入式（10-3-25）可以获得临界暴发条件。

5.数值模拟与结果分析

为了验证上述理论分析，基于Erdós-Rényi（ER）[119]和无尺度（SF）[280]随机网络模型，在人工双层网络上进行了大量的数值仿真，仿真结果是在30个人工网络上由至少超过104个独立的动态实数获得的，用来防止数据波动对结论的影响。这里设置网络大小N=104，平均度＜kA＞=＜kB＞=＜k＞=10。对于给定的平均权重，增加权重分布指数（减少权重分布异质性），在网络中会有更多的低权重边。为了包括社会强化，设置TA＞1和TB＞1。在仿真中，改变了TA和TB的值，发现现象并没有发生质的变化。为了方便，两层信息传输单位概率设为βA=βB=β，恢复率为γ=1.0。网络层X∈{A，B}权重分布遵循gX（w）～平均权重＜wA＞=＜wB＞=＜w＞=8。在稳定状态下网络中没有采纳态节点，通过测量最终恢复态节点比例R（∞）来计算传播范围。

为了在仿真中确定临界条件，可以在数值计算中采用相对波动方差χ[282]验证，遵循方法：

式中，符号＜…＞在这里表示集合平均值，相对波动方差χ 曲线的峰值对应于临界传播概率。

实际上，用户在不同的网络上有不同的社会关系，所以需要考虑不同网络间度分布的异质性。需要根据上一节的参数探索双层加权ER-ER 网络、ER-SF 网络和SF-SF 网络的扩展机制。

1）在加权ER-ER 网络上的信息传播

首先研究在加权ER-ER 网络上的信息传播，A 层网络服从泊松度分布PA（kA）=而B层网络服从泊松分布

在图10-13中，对于相同的信息传输单元概率β，采纳阈值TA=4，TB=4。首先探讨三种状态下（易感态S态、采纳态A 态、恢复态R 态）节点密度随时间的演化。

图10-13　在不同状态下节点密度的时间演化图。（a）：权重分布指数，子图（b）：，以及子图（c），在子图（a）中传播过程取12个时间步，在子图（b）中取11个时间步，在子图（c）中取10个时间步，并以相同的信息传输单位概率β。子图（d）表明，当取相同时，恢复节点的密度随着的增大而增大。通过比较所有子图，发现增加权重分布指数（减少权重分布异质性）可以促进信息传播。基本参数为TA=4，TB=4和β=0.3

在图10-13（a）、（b）和（c）中，t时刻采纳态A 态节点比例A（t）随着时间t最终降为0，t时刻易感态S态节点比例S（t）从1-ρ0逐渐变为0，最后t时刻恢复态R 态节点比例R（t）表示最终采纳规模逐渐趋向于1。所需要的演化时间从12到10逐渐减少，并且子图（d）展示随着权重分布指数的增加（从子图（a）中权重分布指数从子图（a）子图（b）中到子图（c）中，相同时刻t的恢复节点比例R（t）不断增加。

时间演化过程中的现象表明增加权重分布指数（降低权重分布的不均匀性）可以促进信息在加权双层网络上的信息传播。

接下来研究信息传递单位概率β对信息传播的影响。在给定阈值TA、TB和初始种子比例ρ0的情况下，探索R（∞）对单位传递概率β的依赖模式。在计算验证中应用相对波动方差来表示临界单位信息传输概率βc。在图10-14（a）中，TA=4，TB=2，并且ρ0=0.01，增大权重分布指数，临界单位信息传输概率βc在子图（d）中变小，而子图（d）与子图（a）有相同参数设置，但是R（∞）对单位传递概率β的依赖模式却不变。如子图（b）所示TA=4，TB=3，并且ρ0=0.05和图（c）TA=4，TB=4，并且ρ0=0.75，给定不同的采纳阈值和初始种子，R（∞）的依赖模式与权重分布的增长无关。同时，通过相对波动方差χ，在子图（e）和（f）中，可以发现在较小的临界信息传输概率点会更早出现全局接受。总之，这些子图显示相同的现象，即增加重量分布指数（减少重量分布不均匀性）可以加速信息传播，但不管传输采用阈值是多少都不能改变R（∞）对单位传递概率β 的依赖模式。不仅如此，本节的理论结果（线）与数值模拟（符号）非常吻合。

图10-14　在不同权重分布指数下的ER-ER 加权双层网络上最终采纳比例R（∞）对单位传输概率的依赖示例图。在子图（a）（TA=4，TB=2，ρ0=0.01）中，（b）（TA=4，TB=3，ρ0=0.05）和（c）（TA=4，TB=4，ρ0=0.75），最终采纳规模的依赖模式不随权重分布的变化而变化。此外，子图（d）、（e）和（f）表明，在图（a）、（b）和（c）中相应的临界扩展概率可以用峰值的相对方差χ 来表示。通过对所有子图的比较发现，降低权重分布的异质性有利于信息的传播，但不能改变最终采纳比例R（∞）对单位传输概率的依赖关系

在图10-14中，取不同的采纳阈值TA和TB的情况下，发现初始种子比例不同，换句话说，信息在加权双层社交网络上传播的暴发受传播初始种子比例的影响。接下来，在图10-15中探讨了初始种子比例对具有加权双层结构社交网络上信息传播机制的影响。图10-15中的曲线来自于方程中得到的理论结果，与数值模拟（符号）的结果吻合得很好。

在图10-15（a），增加初始种子比例，例如从ρ0=0.01变到ρ0=0.1，降低临界单元信息传输概率可以促进信息传播。此外，R（∞）对单位传输概率β的依赖模式从不连续增长变化为连续增长。此外，在相同的采纳阈值和初始种子比例的情况下，增加权重分布指数，通过对子图（a）、（d）和（g）的比较，例如在子图在子图（g）中能够促进信息传播的暴发。但是不能改变R（∞）对β的依赖增长模式。在纵向比较中，可以得出同样结论。同时发现扩大采纳阈值，例如对应子图（b）、（e）、（h）TA=4，TB=3和子图（c）、（f）、（i）TA=4，TB=3，会增加信息传播的难度。增加初始种子数的比例会改变R（∞）对β从不连续增长到连续增长的依赖模式，降低了信息传播的临界概率。最重要的是，改变初始种子比例或采纳阈值不能定性地改变降低权重分布异质性可以促进信息传播暴发的事实。

图10-15　不同权重分布指数下，初始种子比例ρ0在单位传播概率上对最终采纳比例R（∞）依赖模式的影响图示。子图（a）、（b）和（c）对应的子图（d）、（e）和（f）对应的子图（g）、（h）和（i）对应于同时，子图（a）、（d）和（g）被设置为TA=4，TB=2，子图（b）、（e）和（h）对应TA=4，TB=3。子图（c）、（f）和（i）对应TA=4，TB=4

在实验中，注意到当初始种子比例很小时，全局采纳不能发生。因此，得到了（β，ρ0）参数平面上的最终采纳比例的结果，如图10-16所示。所有子图的权重分布指数的值均是3，每列子图具有相同，即子图（a）、（b）和（c）对应于子图（d）、（e）和（f）对应于子图（g）、（h）和（i）对应于此外，所有子图的采纳阈值TA均取值为4，且子图中每一行有相同的采纳阈值TB，即对于子图（a）、（d）和（g）TB=2，子图（b）、（e）和（h）TB=3和子图（c）、（f）、（i）TB=4。在子图（a）中，发现存在一个临界初始种子比例0.003。如果初始种子比例低于此值，无论单位信息传输概率值为多少，信息传播的暴发都不会发生。

通过图10-16水平方向的比较，可以发现临界初始种子比例在相同的采纳阈值下不会变化。增加权重分布指数（减少权重分布的不均匀性）不能影响临界但可以通过降低关键信息传播单元的概率来促进信息传播的暴发。在纵向比较中，可以发现临界种子分数随着采纳阈值的提高被放大了，表明信息采纳变得困难了。总而言之存在一个临界种子分数，并且只有当初始种子分数超过这个值，信息传播和全球采纳才会暴发。增加权重分布指数（减少权重分布的不均匀性）可以有利于信息传播但不影响临界种子比例。

比较不同种子比例的曲线，增加初始种子比例会改变R（∞）对β从不连续到连续的依赖增长模式。比较不同权重分布指数的曲线，可以发现增加权重分布指数（降低权重分布的不均匀性）可以降低临界传输概率并促进信息传播。此外，增加采纳阈值可以相反地增大临界传输概率。上述现象表明，改变初始种子比例可以改变R（∞）对β的依赖模式，降低采纳率阈值可以降低临界传输概率。

图10-16　R（∞）在ER-ER 加权双层网络（β，ρ0）参数平面的依赖模式示例图。可以得到最终采纳规模R（∞）与参数对（β，ρ0）的关系，并可以探索其临界值。子图（a）、（b）和（c）对应于子图（d）、（e）和（f）对应于子图（g）、（h）和（i）对应于TA=4，存在一个临界种子比例无论在任何信息传输单位概率下，信息传播暴发都不会发生。此外，比较每列的子图，可以发现增加权重分布指数可以促进信息传播

2）双层权重ER-SF网络和SF-SF网络上的信息传播

考虑到度分布的异质性，继续探讨双层加权ER-SF网络和SF-SF网络上的信息传播机制。对于ER-SF网络，A 层为服从泊松度分布的ER 网络，而B层服从指数度分布参数vB表示B层网络的度分布指数。对于SF-SF 网络，A 层服从指数度分布的SF 网络，其中ζA=参数vA表示A 层网络的度分布指数。B 层服从指数度分布其中度指数为vB。在SF网络中，最小度值kmin=4，最大度值

在图10-17中，所有子图都有相同采纳阈值TA=4，TB=3。在ER-SF网络上的最终采纳比例R（∞）与β的依赖模式在子图（a）、（b）和（c）得到说明，在加权SF-SF网络R（∞）与β的值在子图（e）、（f）和（g）中演示。在子图（a）中，增加权重分布指数（降低权重分布异质性）可以降低单位临界信息传播概率。增加的权重分布指数可以促进信息的传播，但不能改变R（∞）与β的依赖模式。在水平方向比较中，增加度分布指数（减少度分布异质性）可以从连续增长模式到间断增长模式改变R（∞）与β的依赖模式。然后在子图（d）和（h）中比较了相同权重分布指数下的R（∞）依赖模式。可以得出同样的结论，即改变双层网络上度分布异质性不会定性地改变减少权重分布的异质性肯定会促进信息传播这样一个事实。

图10-17　有不同分布指数vB的ER-SF（第一行子图）和SF-SF（第二行子图）加权双层网络上度分布异质性对R（∞）依赖于β变化的影响图示。子图（a）和（e）（vB=2.1），子图（b）和（f）（vB=3），子图（c）和（g）（vB=4）解释了不同权重分布指数对R（∞）依赖于β的增长模式。在子图（d）和（h）中，比较相同权重分布指数和不同度分布指数（vB=2.1，vB=3，vB=4）下最终采纳比例R（∞）的依赖模式，可以发现度分布的异质性并没有改变降低权重分布异质性有助于信息的传播的事实。增加度分布指数可以改变从连续到不连续的依赖增长模式。基本参数是TA=4，TB=4，ρ0=0.03

6.结论

随着信息时代的到来，社交网络在人们日常生活中扮演着重要角色。在真实的两层网络中，每层社会关系的亲密度都不同。因此，在社交网络的社会关系中的建模应为加权边模型而不是二值模型，应该探索双层加权网络上的信息传播机制。此外，非冗余信息的社会强化也影响信息的传播。遗憾的是，目前传统研究人员缺乏对具有社会强化作用的加权双层网络的信息传播的深入分析。

考虑到权重分布异质性和社会强化，本文首先提出了一种基于加权的双层社会网络的信息传播模型。为了定性地了解权重分布异质性对信息传播的影响，进一步提出了一种基于边权的划分理论。大量的数值模拟证实了理论预测与数值结果的一致性。

通过理论分析和数值模拟验证，发现减少权重分布的异质性可以促进信息传播和促进整体采纳，但在任意采纳阈值下不能改变最终采纳大小对单位传递概率的依赖性模式。可以发现，当初始种子比例小于临界值时，信息将无法在网络中全局传输。此外，从不连续到连续的情况下，增加初始种子比例或度分布异质性可以改变最终采纳比例对单位传递概率的依赖性模式。但是，度分布的异质性不能定性地改变减少权重分布异质性对信息传播的促进作用。研究结果表明，两层网络上节点间权重和度相关性对信息传播起着重要的作用。此外，本工作为信息传播的研究提供一些新见解。