10.2　多层网络的异质性行为采纳

10.2　多层网络的异质性行为采纳

1.摘要

异质性在人群中广泛存在，例如不同个体有不同的个性和接受新想法或新行为的意愿。然而，在研究复杂网络特别是多层网络的社会传播时，很少考虑群体异质性。为了探讨群体异质性对社会传播动力学的影响，本节提出了一种基于双层网络的信息同步扩散模型。该模型在两层网络上对每一层网络分配不同的采纳阈值。同时，根据人们采取新行为的意愿，将其分为积极个体和保守个体。为了定性地了解群体异质性对社会传播的影响，本节提出了一种基于广义边划分的理论。通过严格的理论分析和大量数值模拟，发现这两个网络层的积极个体都促进了行为的采纳。更为有趣的是，当信息传输速率增加时，在最终采纳规模的增长中发现了相变中的交叉现象。当积极个体的比例较大时，相变呈现连续模式。减少积极个体的比例会导致一种混合过渡，在这种过渡中，最终采纳规模首先在第一个阈值处持续增长，然后在第二个阈值处不连续增长。另外，发现网络的异质性会改变相变过程中的交叉现象。

2.介绍

从经济网络到生态网络[219-221]的现实复杂系统可以被描述为多重网络[20，222-224]，其中每个子网络代表一个不同的子系统。已有研究表明，网络的多重性对多重网络的动态特性有着重要的影响[19，93，94，216，215-228]。对于相互依赖网络中的级联故障，系统显示出不连续的相变[229]，而不是单个网络上的连续相变[230]。对于同步过程，当振荡器的固有频率与其有效耦合强度之间的特定微观相关特征消失时，Zhang等人[231]发现在自适应和多路网络中可以出现更普遍的过程。此外，Boccaletti等人发现，在复杂网络的结构和动力学中，同步过程并不是二阶类型（即连续和可逆的）的经典结果，而是指一阶（不连续和不可逆的）变化[232]。对于多重网络中的进化博弈，层之间的交互影响合作进化[233-235]。研究人员发现，在复合网络上的传播动力学也表现出与单层网络不同的特性[7，45，53，138，236-244]。一些中间环节可以诱发疾病的全球暴发，尽管流行病不能在单层网络上暴发[46]。Granell等人揭示了在复杂网络中传播动力学的非对称共同进化中存在着亚临界点[31]。

最近，多重网络中的社会传播引起了广泛的研究，并被用来描述信息传播、行为和革新采纳的动态[245-247]。与流行病传播[2，127，248]不同，社会传播表现出社会强化效应的一个内在特征[53]，这意味着采取某种社会行为需要验证其可信度和合法性。研究发现，网络的多样性促进了马尔可夫社会传播[249-252]。Wang等人[7]认为信息通过多个信道传输，并在这些信道之间进行切换。基于通信信道变换（CCA）机制，提出了一种适用于多路网络的非马尔可夫门限模型。作者发现，CCA 机制引起的时延降低了信息的传输速率，但不影响信息的最终扩展规模，也不改变相变类型。Chen等人[253]认为，一个人的行为采纳同时受到来自多个网络不同层邻居的影响。他们发现，由于不同层之间的协同效应，最终的传播规模得到了增强，少数种子可以刺激信息的全局传播。此外，Wang等人[110]研究了层间相关性对多重网络中社会传播的影响，提出了一种考虑层间相关性的非马尔可夫社会传播。他们发现，多个网络层之间的相关性促进了行为采纳，但不会改变最终采纳规模的增量模式。

从以上文献来看，以往的研究者已经广泛地研究了群体的异质性，例如不同的人对新的想法或行为有不同的态度[9，254-258]，然而，在现实系统中，个体可以同时存在于多个社会网络中，而且他们在不同的子网络中有着不同的亲密关系，这会影响他们接受新想法或新行为的意愿。例如，家庭或亲信可以更容易地说服你采纳一个新的想法或行为，但在虚拟社交网络上接受信息之前，你需要多次验证它。自然地，在一个多重网络的不同层次中，采纳阈值不同而且采纳意愿也因人而异。以往文献主要研究群体异质性对单网络社会传播的影响[80，259]。然而，对于异质群体在多重网络上的社会传播问题还缺乏系统的研究。

为了研究异质群体对多重网络中社会传播的影响，本节提出了一种基于双层多重网络的非马尔可夫社会传播模型。在该模型中，为了反映群体采纳异质性，随机选择了一小部分q节点作为积极个体，他们有很强的采纳意愿，而其余节点作为保守个体，他们有很弱的采纳意愿。此外，为了研究不同社会圈子对传播动态的影响，在网络的两个层次上设置了不同的采纳阈值。为了从理论上分析社会传播的动力学，建立了一个基于广义边划分的理论。通过严格的理论分析和大量的模拟，发现群体的异质性对最终的采纳规模和相变都有影响。增加积极个体的比例可以促进最终的采纳规模。最有趣的是，在最终采纳规模的相变中发现了交叉现象[96]。当积极个体的比例由大值调整为小值时，采纳规模的相变由连续型转变为混合型，表现出连续和不连续相变的特点。最后，发现改变网络两层的不均匀度将改变相变中的交叉现象。

3.模型描述

为了研究复杂传播，采纳双层复合网络，其中两层A 和B 代表两个不同的通信信道。两层中的节点相互关联，一对相互关联的节点代表两个不同社会子网中的同一个人。不同层中的边代表不同类型个体间的连接。为了避免度内相关，文中使用了不相关配置模型[38]，遵循两个给定的独立度分布注意到在构建网络时避免了自边和多边。节点i的度在层A 中用表示，在层B中用表示。因此，节点i的度可以用表示。假设两层之间不存在相关性，可以得到一个联合度分布每个节点i分别在A 层和B层中拥有的采纳阈值为TA和TB。采纳阈值越大，采纳行为意愿越低。另外，在现实中，当收到信息时个体会表现出不同的意愿。通常，愿意接收这种行为的个体被称为积极个体，而意愿较弱的个体被称为保守派。为了反映网络中个体的不同意愿，随机选择q比例节点作为积极群体，其余1-q比例的节点作为保守群体。

为了描述多重网络上的社会传播，文中采纳广义易感-采纳-恢复模型，其中两层中的每个节点可处于三种状态中的任何一种：易感态（S）、采纳态（A）和恢复态（R）。处于易感状态状态的节点不采纳该行为。处于被采纳状态的节点已经采纳了该行为，并且愿意将该行为信息传递给其邻居。最后，处于恢复状态的节点会对行为失去兴趣，并且不会将行为信息传递给它们的邻居。

初始，随机选择一部分ρ0比例节点作为采纳节点（种子）。在本文中，设置了ρ0=1/N，即只选择网络中的一个节点作为种子。在每个时间步，每个采纳A 状态节点尝试将行为信息分别以速率λA和λB同步地扩散到其在A 层和B层中的S状态相邻节点。请注意，一旦信息成功地通过A-S节点对之间的边缘传输，它就不会再次被传输了。换句话说，只允许非冗余信息传输[79]。此外，采纳A 状态节点可以尝试多次将信息发送给易感状态的相邻节点，直到它们进入恢复状态。如果一条信息成功地从采纳A 状态节点i传输到层X∈{A，B}中的S状态相邻节点j，则S状态的累积信息条数增加1，即随后，层A和层B中的节点j将其累积的信息片段与其采纳的阈值进行比较。当积极个体积累的信息在两层中超过任何阈值时，即时，他们采纳这种行为。相反，保守群体只有在A 层和B层的累积信息同时超过采纳阈值时才采取这种行为，即TB。显然，行为采纳由两层信息的积累所决定，导致在行为传播的动力学中引入了非马尔可夫效应。在每个时间步，采纳A 态节点都会对行为失去兴趣，并以速率γ 进入恢复状态。当节点从采纳A 状态进入恢复R 状态时，它们将不参与行为信息的传输，即既不向邻居发送信息，也不从采纳A 状态相邻节点接收信息。最后，当所有采纳A 态节点进入恢复R 态时，信息传播的动力学终止。

4.理论分析

为了从理论上分析提出的模型，描述信息传播过程中节点状态间的强动态相关性，本节建立了基于边划分的理论。在基于边划分的理论中，假设节点i处于空腔状态[55]，这意味着它只能从其相邻节点接收信息，但不能将信息发送到其邻居。此外，将θX（t）（X∈{A，B}）表示为在时间t之前行为信息没有通过随机选择的连边传输到X 层中易感邻居的概率。随机选择值为的易感节点i在时间t前接收mA和mB条信息的概率可以分别表示为

根据上小节中积极个体和保守个体的区别，若积极个体处于易感状态表示他在A 层和B层接收到的累积信息都小于相应的阈值，即mA＜TA和mB＜TB。而保守个体处于易感状态意味着A 层或B层的信息累积量小于其阈值，即mA＜TA或mB＜TB。定义值为（kA，kB）的积极个体处于易感状态的概率为值为的保守个体处于易感状态的概率为因此，随机选择度为的节点，在时刻t处于易感状态的概率可以表示为

式中：

式（10-2-4）右边的项表示积极个体在第X 层中时间t 接收到的累积信息小于相应阈值的概率。式（10-2-5）右边的第二项表示A 层和B层中累积信息均超过相应阈值的概率。因此，在时刻t，层X（X∈{A，B}）中随机选择节点的累积信息数目小于相应阈值的概率可以表示为

积极个体保持易感状态的概率是ηAηB，而保守个体保持易感状态的概率是ηA+ηB-ηAηB。因此，可以得到在时间t易感状态节点的比例：

处于空腔状态的节点邻居可以处于易感、采纳和恢复三种状态中的任意一种，因此θX（t）由以下三部分组成：

式中，分别表示处于空腔状态的节点的相邻节点保持易感、采纳和恢复状态且未将信息发送到节点的概率。

接下来，本节分析了上述三项。如果节点i处于空腔状态，并且值为的节点j是节点i在A（B）层中的易感状态相邻节点，由于节点i处于A（B）层的空腔状态，那么节点j只能从其他相邻节点接收信息。因此，节点j在A 层中接收到nA条信息的概率为如果j是积极个体，考虑到nA所有可能的值，可以得到节点j保持易感状态的概率为

式中，表示节点j在B层中接收到的所有可能的信息片段。考虑到节点j是B层中节点i的易感状态的相邻节点，可以得到

此外，如果j是保守个体，那么它保持易感状态的概率是

因此，考虑到易感状态相邻节点的特性，节点i连接到易感节点的概率由两部分组成

给定联合度分布概率在X 层中，边连接到易感状态的相邻节点的概率为

式中，表示边连接到层X 中具有度为的相邻节点的概率。

接下来，本节分析了A 层和B层中的ξA（t）和ξB（t）的演化。一旦行为信息成功地通过A（B）层中的边传输，θA（t）（θB（t））的值随λAξA（t）（λBξB（t））的增加而减小。因此θA和θB的演化可以表示为

式中，X∈{A，B}。对于的演化，如果信息没有通过边缘传输，并且采纳状态的节点在时间t进入恢复状态，那么的值将增加。这样就可以得到的动态方程

初始条件有θX（0）=1和根据方程（10-2-15）和方程（10-2-16），可以得到积分常数γ（1-λX）/λX和函数

将式（10-2-14），式（10-2-17）代入式（10-2-7），可以得到

现在，可以把式（10-2-18）代入式（10-2-15），得到θX（t）的时间演化

根据节点状态的演化机制，可以了解到易感状态的节点在采纳行为时会进入采纳状态。同时，被采纳的节点对行为失去兴趣，进入恢复状态。因此，可以很容易地表示采纳和恢复状态节点的时间演化

根据式（10-2-6）、式（10-2-20）和式（10-2-21），可以通过迭代得到任意时间步上每个状态节点的比例。此外，当t→∞时，可以获得最终采纳状态节点比例大小RX（∞）。

为了研究动态传播，可以分析式（10-2-19）在稳态时的不动点。通过设定当t→∞时可以得到(https://www.daowen.com)

为了便于分析，将θA（∞）=fA（θA（∞），θB（∞））表示为

将θB（∞）=fB（θA（∞），θB（∞））表示为

当θA＜1和θB＜1时，如果式（10-2-23）与式（10-2-24）相切，则存在不连续的一阶相变[260]。在临界点，满足下列条件：

由于上述方程太复杂，无法得到理论解，特别是当复杂网络的两层有不同的采纳阈值TA和TB时。因此，为了直观地分析复杂传播动力学，讨论了当TA=TB=1时的特殊情况。在这种情况下，式（10-2-8）和式（10-2-9）被简化为

除此以外，式（10-2-10）和式（10-2-11）分别化为

式（10-2-12）和式（10-2-13）分别表示为

将式（10-2-30）和式（10-2-31）代入式（10-2-22）得到

式中，是度分布PX（kX），X ∈{A，B}的生成函数，是超额度分布PX（kX）的生成函数，另外，度分布P（k）的生成函数如下：

式中，将式（10-2-32）和式（10-2-35）代入式（10-2-25）可得到临界条件。

5.数值模拟与结果分析

基于Erdós-Rényi（ER）[34]和Scale-Free（SF）[38]模型，在人工双层复用网络进行了大量的数值模拟。结果是通过在30个人工网络上平均至少104个独立的动态实现得到的。在模拟中，两层中的信息传输速率被设置为λA=λB=λ，恢复概率为γ=1.0。此外，每层中有N=104个节点，并且两层的平均度数设置为＜kA＞=＜kB＞=10。在最终状态下，采纳节点都进入恢复状态，因此可以在稳态时测量恢复节点的传播规模R（∞）。

为了从模拟仿真中确定阈值λc，采用了相对方差χ，它已经被广泛和成功地用于确定流行病阈值[4，94]。χ 的表达如下

式中，＜…＞表示集合平均值，χ 在临界点处会出现一个峰值。

1）均匀双层网络

首先研究异构行为采纳的泊松度分布在A 层和B层分别为和的ER-ER 网络复杂行为传播动力学的影响。

在图10-8中，本节探讨了积极个体对复杂传播动力学的影响。其中两层的采纳阈值分别设置为TA=1和TB=3。图10-8（a）显示了在积极个体比例q 的三个典型值的情况下，最终采纳节点的比例作为信息传输率λ的函数。发现增大积极个体的比例可以增强采纳行为，同时通过调节积极个体和保守个体的比例，导致相变的交叉现象。具体地说，最终采纳状态的比例R（∞）随着q 的增加而增加。此外，当网络中积极个体的比例相对较大时，即q=0.8（蓝色三角形）和q=0.5（绿色正方形），它在传输速率的临界值λc处显示最终采纳节点比例R（∞）的连续相变。当积极个体的比例降低到q=0.2（红色圆圈）时，R（∞）的跃迁呈现混合模式。在混合相变过程中，R（∞）的值在第一阈值处持续增加，然后随着λ的增加缓慢增长，直到达到第二阈值，并且在第二阈值处呈现R（∞）的突然不连续增加。为了区分混合跃迁中λ的两个临界值，我们将λⅠ表示为发生不连续相变的阈值，λⅡ表示为发生连续相变的阈值。图10-8（a）中的曲线来自于式（10-2-1）～式（10-2-7）和式（10-2-14）～式（10-2-17）获得的理论结果，与数值模拟非常吻合。图10-8（b）中的χ 峰显示了从模拟中获得的临界点。还可以观察到阈值λc随q的增加而减小。

图10-8　在ER-ER 网络上，积极个体的q比例对社会传播的影响图示。当积极个体比例q增加时，相变由混合相变转变为连续相变。（a）对于q=0.2，节点最终采纳比例R（∞）作为信息传输率λ的函数，对应q=0.2（红色圆圈），q=0.5（绿色方块），q=0.8（蓝色三角形）。线条为式（10-2-1）～式（10-2-7）和式（10-2-14）～式（10-2-17）计算得出的理论结果。（b）对于q=0.2（红色实线），q=0.5（绿色虚线），q=0.8（蓝色虚线），相对方差χ 作为传输率λ 的函数，其他参数为γ=1.0，平均度＜k＞=10，TA=1，TB=3

网络中的积极个体和保守个体所占的比例决定了网络的连续性和不连续性。一旦任何一层累积的信息超过相应的阈值，活动者就会采纳这种行为。A 层的阈值为TA=1，这意味着在A 层中若接受一条信息将会导致行为的采纳。因此，当网络中存在大量积极个体时，最终采纳的节点比例会随λ的增加而迅速增加。当网络中保守个体的比例增加时，行为的采纳就变得更加困难，因为只有当两层中累积信息数都超过阈值时，他们才会采纳行为。在这种情况下，积极个体会先采取行动，然后刺激保守个体采取行动。对于保守个体而言，存在一个亚临界状态，在这个状态下，保守个体没有采纳这种行为，但是若收到一条信息将会导致这些节点的采纳。类似于爆炸渗流中所谓的“powder keg”[96]，当亚临界状态下的节点信息量同时超过阈值时，就会出现不连续相变。

注意，q=0.2的两个临界值λⅠ和λⅡ将参数空间分为三个区域。当λ＜λⅠ时，行为是局部采纳的，即只有有限的一小部分节点采纳该行为。当λⅠ＜λ＜λⅡ时，随着λ 的增加，越来越多的积极个体采纳这种行为。因此，R（∞）不断增加。最后，当λ＞λⅡ时，保守个体同时采纳这种行为，导致R（∞）的不连续增长。用相对方差χ对临界点进行数值定位，如图10-8（b）所示。

通过上述分析，可以得出最终采纳规模R（∞）和相变都受参数q 和λ 的影响。因此，图10-9中研究了R（∞）对q和λ 的依赖性。图10-9（a）和（b）中的颜色表示R（∞）的值。研究发现参数平面（λ，q）被两个临界值qⅠ（白点线）、qⅡ（白线）划分为三个区域。在区域Ⅰ中，q＜qⅠ，积极个体的比例非常小，由于在初始阶段没有足够的积极个体来传播信息，阻碍了信息的传播。因此，在该区域中，行为的全局采纳不会受到刺激，无论λ的值是多少，所采纳节点的最终部分都保持极小的值。在区域Ⅱ中，qⅠ＜q＜qⅡ，积极个体的比例增加到一个相对较大的值。在这个区域，在λⅡ（参见图10-9（a）中的绿色方块）的位置，R（∞）连续转变，然后随着越来越多的积极个体采纳这种行为，R（∞）缓慢增加。当λ增大到λⅠ时，相当多的保守个体进入亚临界状态。因此，当λ＞λⅠ时，R（∞）突然增大到一个较大值，并且在λ=λⅠ处发生不连续相变（参见图10-9（a）中的红色三角形）。在区域Ⅲ中，q＞qⅡ，积极个体主导着传播动力学。随着λ的增加，越来越多的积极个体采取这种行为。同时，由于受到积极个体的刺激，保守群体将逐渐采纳这种行为。因此，R（∞）随着λ的增加而不断增加。此外，随着积极个体比例q 的增加，采纳阈值λc减小。对λc、λⅡ和λⅠ的理论预测与数值预测吻合得很好，如图10-9（b）所示。

图10-9　最终采纳规模R（∞）与积极个体的比例q和信息的传输率λ 关系图。区域Ⅰ、区域Ⅱ和区域Ⅲ不存在全局行为暴发、双相转变和二阶相变。在ER-ER 网络上对于复杂的扩散模型，彩色编码值对于理论值（a）和数值模拟（b）的R（∞），分别显示在参数平面（λ，q）中。白色虚线和实线表示临界活动节点比例qⅠ和分别是qⅡ。白色圆圈表示发生二阶相变的临界传输速率λc。这个绿色正方形和红色三角形代表混合过渡中的二阶阈值λⅡ和一阶阈值λⅠ

此外，发现平均度并不能定性地改变图10-10的现象。具体地说，小部分积极个体比例q引起混合相变，大比例q引起连续相变。平均度＜k＞的增加将扩大传播范围，降低暴发阈值。理论方法与上述现象非常吻合。

图10-10　在ER-ER 随机网络上平均度＜k＞对复杂社会传播的影响图示。在（a）＜k＞=5的情况下，R（∞）与λ 的关系，在（b）＜k＞=10的情况下，曲线表示理论值，符号表示模拟结果。
其他参数为TA=1，TB=3

2）异构双层网络

接下来，本研究分析了网络结构对社会传播阶段转换的影响。首先，关注平均度为＜kA＞=＜kB＞=10的ER-SF 网络。对于这样的ER-SF 网络，A 层为具有Poisson度分布的ER 网络，B层为具有scale-free度分布的SF网络，其中参数vB表示B层的度指数。在SF子网络中，最小和最大度分别设置为kmin=4和kmax～100。

为了探讨B层的度异质性对社会传播动力学的影响，重点研究了vB的三个典型值，即vB=2.1，3，4。图10-11显示了在不同q值下R（∞）作为λ的函数。在图10-11中，采纳阈值为TA=1和TB=3。发现在vB=2.1，3，4的情况下，与ER-ER 网络的情况相似，存在相变交叉现象。

具体而言，当积极个体的比例较大时（如q=0.5和0.8），过渡类型从连续模式变为比例较小的混合模式，如vB=2.1，3时q=0.12（见图10-11（a1）和（b1）中的红色圆圈），vB=4时q=0.2（见图10-11（c1）中的红色圆圈）。直线对应于理论结果。图10-11（a2）-（c2）显示了当vB=2.1（a2）、3（b2）和4（c2）时，相对方差χ 是λ 的函数。

当q=0.12（见图10-11（a2）和（b2））和q=0.2（见图10-11（c2））时，有两个χ（红线）峰，表明双相变。当积极个体的比例增加时，如q=0.5和0.8，有一个峰值，表明有一个相变。对于积极个体的较小比例q，较高的度分布不均匀性，如vB=2.1，使得双相跃迁变得难以观察。如文献[79]所述，R（∞）的不连续增长由处于亚临界状态的有限部分个体同时采纳该行为所引起。处于亚临界状态的个体意味着其累计接收信息等于TB-1。在SF网络中，由于汇点数量较少，导致个体逐渐采取这种行为。因此，处于亚临界状态的个体比例降低，不连续性消失。

图10-11　在ER-SF随机网络上积极个体比例q对复杂社会传播的影响图示。当积极个体的比例降低时，相变类型从连续型变为混合型。在子图（a1）里，当SF网络指数参数vB=2.1时，绘制R（∞）与传输概率λ的关系；在（b1）中，对于vB=3，（c1）vB=4。模拟结果参数为活动节点比例q=0.12，vB=2.1，3，q=0.2，vB=4（红色圆圈），q=0.5（绿色方块），以及q=0.8（蓝色三角形）。图中曲线来自于式（10-2-1）～式（10-2-7）和式（10-2-14）～式（10-2-17）计算出的R（∞）的理论值。其他参数γ=1.0，平均度＜k＞为10，TA=1，TB=3。理论解与数值模拟结果吻合较好。当q=0.12（0.2）（红色圆圈），q=0.5（绿色平方），和q=0.8（蓝色三角形），相对方差χ 作为vB=2.1（a1），vB=3（b2）和vB=4（c2）时λ的函数

最后，为了进一步探讨网络结构对社会传播动力学的影响，本节分析了SF-SF 在网络上社会传播过程。A 层和B 层的度分布为其中vA和vB表示A 层和B层的度指数。在图10-12中，参数对应vA=vB=2.1（a1）、3（b1）和4（c1）。在图10-12中，采纳阈值设置为TA=1和TB=3。有趣的是，研究发现当度异质性足够强时，即vA=vB=2.1时，混合相变消失（见图10-12（a1）），所有q值只有一个连续相变（见图10-12（a1））。当幂指数vA=vB增大时，积极个体的比例相对较小时，出现混合相变，例如，当vA=vB=3，q=0.1时（见图10-12（b1）和（b2）；当vA=vB=4，q=0.2时（见图10-12（c1）和（c2））。亚临界状态下大量个体同时采纳这种行为会导致R（∞）的不连续增长。在平均度固定的情况下，度分布越不均匀，越多节点分别具有大度和小度。由于行为以分层的方式在复杂网络上传播[9]，少量度较大的节点使易感状态的邻居逐渐采纳该行为。因此，在SF-SF 网络中，几乎没有一部分节点同时处于亚临界状态。因此，R（∞）的不连续增长消失。

图10-12　在SF-SF随机网络上，积极节点比例q对复杂社会传播的影响图示。（a1）：指数参数vA=vB=2.1时，两层SF网络上绘制R（∞）与传输概率λ的关系；（b1）：vA=vB=3时，两层SF网络上绘制R（∞）与传输概率λ的关系；（c1）vA=vB=4，两层SF网络上绘制R（∞）与传输概率λ的关系。模拟结果用积极节点比例q=0.1（0.2）（红色圆圈），q=0.5（绿色方块）和q=0.8（蓝色三角形）。这些线是根据式（10-2-1）～式（10-2-7）和式（10-2-14）～式（10-2-17）计算出的R（∞）的理论值。其他参数为γ=1.0条平均度＜k＞为10，TA=1，TB=3。理论解与数值解吻合较好。子图（a2）处两个SF网络上的相对方差χ 作为λ 的函数，对于（b2）处的vA=vB=3，以及对于vA=vB=4（c2）

6.结论

综上所述，本节分析了异构群体对复合网络社会传播动力学的影响。结论认为，社交网络上的个体对新的想法或行为有不同的接受意愿，然后群体出现异质性。为了表示群体的异质性，随机选择了网络的小部分q比例节点作为积极个体。其余的1-q比例节点被定义为保守节点。本节还发现，不同网络中的信息传播具有不同的可信度，例如，在家庭或朋友之间传输的信息将比在虚拟社交网络（如Facebook或Twitter）上传输的信息更可信。因此，需要更多信息说服虚拟社交网络上的人采取这种行为。因此，假设不同子网中的种群具有不同的采纳阈值，因此为网络的两层分别分配了阈值TA和TB。信息在网络的两层同步传输。一旦积极群体在任何一层收到的累积信息超过相应的阈值，他们就会采纳这种行为。而保守群体只有在网络的两层累积信息同时超过相应的阈值时才会采纳这种行为。

为了对该模型进行理论分析，本节建立了一个基于广义边划分的理论。通过理论分析和仿真验证，发现群体异质性对多重网络社会传播的动态有显著影响。首先，在ER-ER 复合网络中，采纳行为可以通过增加积极个体的比例q 来增强。最终采纳规模随q 值的增大而增大，阈值随q值的增大而减小。更重要的是，当q 值较大时，最终采纳规模R（∞）的相变随传输速率λ 的增大而不断增大。而当q 值相对较小时，则存在R（∞）的混合过渡。R（∞）对λ的值首先在第一个临界值λⅠ处呈现连续增长模式，然后在第二个临界值λⅡ处呈现不连续增长模式。最后，研究了度异质性的影响。在ER-SF网络中，发现当调节积极个体的比例时，在相变过程中仍然存在交叉现象。然而，在SF-SF网络中，当度异质性足够强时，相变中的交叉现象消失。

群体异质性是研究社会传播的一个关键因素，以往的研究往往忽略了这一点。同时考虑网络的多样性和群体的异质性，可以更好地揭示复杂网络上社会传播的内在机制。本文的主要贡献在于提供了一个定性和定量的视角，以了解异构群体和异构采纳阈值对社会传播动力学的影响。本节的工作丰富了对相变现象的研究，为其他传播动力学的研究，如流行病传播、创新传播、市场营销、计算机病毒传播等提供了新的启示。对于在多个网络上传播的行为，子网的数目和所有子网中采纳邻居的总数是非常重要的，值得在以后的研究中进行分析。