2.2.1　随机变量的定义

2.2.1　随机变量的定义

在研究一个随机现象时,我们不仅要知道随机试验会出现什么样的结果,更重要的是要知道这些结果将以怎样的概率出现.同样,对于随机变量,我们不但要知道它取什么数值,而且要知道它取这些值的概率.简要回顾一下初等概率论中的离散型随机变量和连续型随机变量.

设X=X(ω)是定义在Ω上的离散型随机变量,取值x1,x2,···,为求P{X=xi},首先要求{X=xi}={ω:X(ω)=xi}∈F,i=1,2,···.

对于连续型随机变量X(ω)(ω∈Ω),它的值可能充满某个区间,而且它取某个特定值的概率为0.我们感兴趣的是X(ω)取值于某个区间或若干个区间的概率.因此,应当要求{ω:a＜X(ω)≤b}或{ω:X(ω)≤b}或更一般地{ω:X(ω)∈B}∈F,其中B∈B(1).

为此,我们将利用概率空间给出的随机变量的严格定义,刻画随机变量的本质.

定义2.2.1设X=X(ω)是定义在概率空间(Ω,F,P)上的取有限值的实函数,若∀B∈B(1),有

则称X(ω)为随机变量（简记为r.v.）.随机变量常用英文字母X,Y,Z,···或希腊字母ξ,η,ζ,···表示.

注2.2.1（1）X(ω)定义在Ω上,取值于R(1),称X(ω)为可测空间(Ω,F)到可测空间(R(1),B(1))的一个映射,记为

若式(2.2.1)成立,则X(ω)为一个可测映射或可测函数.所以,随机变量就是可测空间(Ω,F)到(R(1),B(1))上的可测函数.

式(2.2.1)的含义是:Borel集B的原像X-1(B)是事件.这个条件刻画了随机变量的本质.

（2）式(2.2.1)等价于:∀x∈R(1),有

（3）{ω:X(ω)≤x},{ω:X(ω)∈B}一般简记为{X≤x},{X∈B}.

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件,它使概率论的研究对象由事件扩大为随机变量.对事件的研究也可纳入随机变量的研究之中.下面给出几个具体的随机变量的例子.

例2.2.1设A为任一事件,即A∈F,令(https://www.daowen.com)

称IA(ω)为A的示性函数.

因为

所以{IA≤x}∈F,故IA(ω)是一个随机变量.而等式

表示求A的概率等价于求随机变量IA(ω)等于1的概率.

为简单函数.

为初等函数.

显然,此处的简单函数和初等函数均是离散型随机变量.

定义2.2.2设X,Y是(Ω,F,P)上的随机变量,则称Z=X+iY为(Ω,F,P)上的复随机变量.