2.2.2　分布函数及其性质

本科概率论中关于一维随机变量的分布函数及其性质的讨论较多,归纳如下,略去证明.

定义2.2.3称

为随机变量X的分布函数（简记为d.f.）.

由定义2.2.3以及概率的减法公式得,当a≤b时,

定理2.2.1分布函数F(x)具有下列性质:

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利用分布函数,我们可以表示出随机变量X在各种集合中取值的概率.例如,

注2.2.2理论上,还需要知道随机变量X落在任一Borel集B中的概率,利用测度论知识(参考文献[1])可以证明

式(2.2.3)的右端是Stieltjes积分,将在3.1.2节介绍.可见,分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.

从以上结论可以看出,分布函数是一种分析性质良好的函数,便于处理,给定了分布函数,就能算出各种事件的概率.所以,引入分布函数可使许多概率问题得以简化,从而将其归结为函数运算,这样就能利用数学分析的许多结果,这也是引入随机变量的好处之一.