2.5.1　随机变量的独立性

2.5.1　随机变量的独立性

定义2.5.1设Xt=(Xt1,···,Xtmt),t∈T是概率空间(Ω,F,P)上的实随机变量族,T是任意参数集.若对任意的正整数l,{t1,···,tl}⊂T及xts∈R(mts),s=1,···,l,有

若T为可列集,称{Xk}为独立随机变量序列.

容易看到,如果实随机变量族Xt,t∈T独立,则将它们分成不相交的有限子集,然后将每一个有限子集的随机变量的各个分量合并构成新的随机变量,所得到的新的随机变量族仍然独立.

关于随机变量的独立性,易证得如下定理.

定理2.5.1实随机变量族Xt,t∈T独立的充要条件是它的任意有限子集中的随机变量都独立.

下面定理的证明需要用到测度论中独立事件类的扩张定理,有兴趣的读者可以查阅文献[1]中的定理1.5.4.

定理2.5.2设Xk,k=1,2,···,n是n个实随机变量,则Xk,k=1,2,···,n独立的充要条件是对于任意的Bk∈B(mk),k=1,2,···,n,有

证充分性由独立性的定义可证.

必要性证明如下：由Xk,k=1,2,···,n独立知,事件类

是独立的.容易看到,Gk为π-系,于是由独立事件类的扩张定理知,σ(Gk),k=1,2,···,n独立.但由等式f-1(σ(G))=σ(f-1(G))可知,定理的必要性成立.

证毕

定理2.5.2的推论是很有用的,具体如下.

且Fk(+∞)=1,则Xk,k=1,2,···,n独立,且Fk(xk)是Xk的分布函数,这里+∞表示各个分量均为+∞的mk维向量.(https://www.daowen.com)

证首先,由于Fk(+∞)=1,k=1,···,n,有

可知Fk(xk)是Xk的分布函数;其次,由于对任意的k1,···,kl(l≤n),xkr∈R(mkr),r=1,2,···,l,有

可见Xk,k=1,···,n独立.

证毕

下面的推论在某些应用中使用起来更方便.

推论2.5.3若存在n个函数Gk(xk),k=1,2,···,n,使得(X1,···,Xn)的分布函数

关于离散型随机变量和连续型随机变量的独立性,有下面的判别方法.

定理2.5.4设Xk,k=1,2,···,n为离散型随机变量,且Xk只取{xks,s=1,2,···}中的值,令

其中xks∈R(mk),且0≤pks≤1,则Xk,k=1,2,···,n独立的充要条件是

定理2.5.5设Xk,k=1,2,···,n为连续型随机变量,(X1,···,Xn),Xk的概率密度分别为f(x1,···,xn),fk(xk),则Xk,k=1,2,···,n独立的充要条件是