2.4　 Borel函数与随机变量的函数

2.4　 Borel函数与随机变量的函数

设X是定义在(Ω,F,P)上的一个随机变量,g(x)为普通函数,令Y=g(X),为了使Y也是一个随机变量,函数g(x)必须满足一定的条件.为此,可给出如下定义.

定义2.4.1设y=g(x)是R(1)到R(1)的一个映射,若对R(1)中的任意Borel集B,都有

其中B(1)为R(1)上的Borel域,则称g(x)是一元Borel(可测)函数.

注2.4.1定义2.4.1中的条件(2.4.1)的解释如下:Borel集B的原像g-1(B)是Borel集.因此,一元Borel函数g(x)就是可测空间(R(1),B(1))到(R(1),B(1))的一个可测映射.

定理2.4.1设X是概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,g(x)是一元Borel函数,则Y=g(X)是(Ω,F,P)上的随机变量.

证因为g(x)是一元Borel函数,所以由定义2.4.1知,∀B∈B(1),有g-1(B)∈B(1).而X是随机变量,故由定义2.2.1知,

再根据定义2.2.1知,Y是(Ω,F,P)上的随机变量.

证毕

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有时还要考虑随机向量的函数.例如,Y=X1+X2就是随机向量(X1,X2)的函数.一般地,我们要研究Y=g(X1,···,Xn)及其分布.这时,对n元函数y=g(x1,···,xn)也要有相应的要求.

定义2.4.2设y=g(x1,···,xn)是R(n)到R(1)的一个映射,若对R(1)中的任意Borel集B,都有

其中B(n)为R(n)上的n维Borel域,则称g(x1,···,xn)为n元Borel（可测）函数.

注2.4.2条件(2.4.2)的含义是:一维Borel集B的原像g-1(B)是n维Borel集.因此,n元Borel函数g(x1,···,xn)是可测空间(R(n),B(n))到可测空间(R(1),B(1))的一个可测映射.

定理2.4.2设(X1,···,Xn)是概率空间(Ω,F,P)上的随机向量,g(x1,···,xn)是n元Borel函数,则Y=g(X1,···,Xn)是(Ω,F,P)上的随机变量.

证因为g(x1,···,xn)是n元Borel函数,所以由定义2.4.2知,∀B1∈B(1),有g-1(B1)∈B(n).由随机向量的定义知,

再根据定义2.2.1知,Y是(Ω,F,P)上的随机变量.

证毕