2.5.2 条件分布
下面从二维随机变量出发介绍条件分布的概念和计算.这些内容不难推广到更一般的情况.
1.二维情况
定义2.5.3设已给两个随机变量X,Y,对于任意B∈B(1),如果P{X∈B}＞0,对于任意y∈R(1),定义
则称FY|X(y|B)是在X∈B条件下的Y的条件分布函数.若存在非负函数f(x|A)使
则称f(x|A)为在事件A发生的条件下,X的条件概率密度函数.
事实上,若y1＜y2,则
于是,FY|X(y|B)是y的不减函数.
再由概率的连续性有
即FY|X(y|B)是右连续的.
同理可证
特别地,当B为单点集{x},且P{X∈B}=P{X=x}＞0时,FY|X(y|B)可化为FY|X(y|x).
离散型随机变量的条件分布的定义如下.
定义2.5.4设X,Y为离散型随机变量,即
则当P{X=xi}＞0时,称
为在X=xi的条件下Y的条件分布律.
当X,Y为连续型随机变量时,对任意的x,P{X=x}=0,无法用上述方法定义FY|X(y|x).为了克服这一困难,考虑极限
其中P{x-△x＜X≤x+△x}＞0.于是有下面的定义.
定义2.5.5设(X,Y)的分布函数为F(x,y),如果对任意的△x＞0,P{x-△x＜X≤x+△x}＞0,且
存在,则称
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为在X=x的条件下Y的条件分布函数.
当(X,Y)的概率密度为f(x,y)时,式(2.5.2)可表示为
于是有下面的定义.
为在X=x的条件下Y的条件分布函数,称
为在X=x的条件下Y的条件概率密度函数.
例2.5.1设X为连续型随机变量,其分布函数为FX(x),概率密度为fX(x)(x∈R(1)).对给定的t0,记事件A={X＞t0},并假定P(A)＞0.试求X关于A的条件分布函数F(x|A)和条件概率密度f(x|A).
解
故
由例2.5.1,我们可以得到下例.
例2.5.2 X～eλ（参数为λ＞0的指数分布）,则
设t0＞0,则得
2.多维情况
设(X,Y)为n+m维连续型随机向量,其中X为n维连续型随机向量,Y为m维连续型随机向量.又设(X,Y)的分布函数和边缘分布函数分别为F(x,y)和F1(x),F2(y);(X,Y)的概率密度和边缘概率密度分别为f(x,y)和f1(x),f2(y),其中x,y分别为n维实向量和m维实向量.因此,类似于二维情况,有
在Y=y的条件下,X的条件概率密度为
在X=x的条件下,Y的条件概率密度为
