2.6.1 一般方法
如果(X1,···,Xn)是(Ω,F,P)上的n维随机变量,g(x1,···,xn)是由(R(n),B(n))到(R(1),B(1))上的n元Borel可测函数,由前面的讨论知,g(X1,···,Xn)是(Ω,F,P)上的随机变量,那么,应如何由已知的(X1,···,Xn)的分布及g(x1,···,xn)求g(X1,···,Xn)的分布?
定理2.6.1设X=(X1,···,Xn)是n维随机变量,y=g(x1,···,xn)是由(R(n),B(n))到(R(1),B(1))上的n元Borel可测函数,则g(X1,···,Xn)的分布函数
证
证毕
推论2.6.1若X=(X1,···,Xn)是n维连续型随机变量,概率密度为f(x1,···,xn),则g(X1,···,Xn)的分布函数
例2.6.1设随机变量X与Y相互独立,X的概率密度函数为
例2.6.2设(X1,X2)的概率密度为f(x1,x2),试求Y=X1+X2的分布函数和概率密度.
解由式（2.6.2）得Y的分布函数为
可见Y的概率密度为
特别地,当X1,X2独立时,它们的概率密度为
当0≤y-1＜1,即1≤y＜2时,有
当-1＜y-1＜0,即0＜y＜1时,有
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所以
在计算随机变量函数的分布时,除了像例2.6.2那样使用卷积公式外,主要的是灵活运用式（2.6.1）.
例2.6.3设X1,···,Xn独立同分布,分布函数为F(x),若记
试分别求X(1)和X(n)的分布函数F(1)(y),F(n)(y).
解
进一步,如果(X1,···,Xn)为n维随机变量,又yj=gj(x1,···,xn)(j=1,2,···,m)是m个由(R(n),B(n))到(R(1),B(1))上的n元Borel可测函数,令
则由前面的讨论知,(Y1,···,Ym)为m维随机变量.
当(X1,···,Xn)的分布已知且gj(x1,···,xn)(j=1,2,···,m)已知时,如何求出(Y1,···,Ym)的分布函数?
定理2.6.2设X=(X1,···,Xn)为一n维随机变量,gj(x1,···,xn)(j=1,2,···,m)是m个由(R(n),B(n))到(R(1),B(1))上的Borel可测函数,则由
所确定的m维随机变量(Y1,···,Ym)的分布函数为
证
证毕
推论2.6.2若X=(X1,···,Xn)的概率密度为f(x1,···,xn),则有
