2.6.2 特殊方法
对于某些特殊情况,可以用下面定理的方法计算.
定理2.6.3设n维随机变量X=(X1,···,Xn)的概率密度为f(x1,···,xn),n元函数gj(x1,···,xn)(j=1,···,n)满足条件:
（1）存在唯一的反函数,即如果方程组
有解,那么存在唯一的实数解xj=xj(y1,···,yn),j=1,···,n;
（2）gj(x1,···,xn)和xj(y1,···,yn)都是连续函数;
则由Yj=gj(X1,···,Xn)(j=1,···,n)构成的n维随机变量Y=(Y1,···,Yn)的概率密度
证由式（2.6.4）知,
若记函数yj=gj(x1,···,xn)(j=1,···,n)的值域为D⊂B(n),并作变换xj=xj(y1,···,yn),则由式(2.6.3),式(2.6.7)可化为
若记
则式（2.6.7）可化为
可见定理的结论成立.
例2.6.4设X=(X1,X2)的概率密度为f(x1,x2),且有
证毕
试求Y=(Y1,Y2)的概率密度fY(y1,y2).
解方程组®
于是由式（2.6.6）得Y=(Y1,Y2)的概率密度为
如果方程组（2.6.5）的解不唯一,也可以用类似于定理2.6.3的方法求解,不过要将结论稍加修改.(https://www.daowen.com)
推论2.6.3设n维随机变量X=(X1,···,Xn)的概率密度为f(x1,···,xn),n元函数gj(x1,···,xn)(j=1,···,n)满足条件
（1）存在m组反函数,即方程组
有m组实数解
则Y=(Y1,···,Yn)的概率密度
证明从略.
例2.6.5设(X1,X2)的概率密度为
同样有
变换的值域为G*:y1＞0,-∞＜y2＜+∞.于是,(Y1,Y2)的概率密度为
易知,Y1的概率密度
Y2的概率密度
所以,Y1和Y2独立.
例2.6.6设随机变量X,Y的联合概率密度为
若U=2X,V=X+Y,求U,V的联合概率密度g(u,v).
