2.7　习题

1.设F(x)=P{X＜x},试证:F(x)单调不减、左连续,且F(-∞)=0,F(+∞)=1.

2.设随机变量X取值于(0,1),若对一切0＜x≤y＜1,P{x＜X≤y}只与长度y-x有关,试证:X服从(0,1)上的均匀分布.

4.设X1,X2,Y1,Y2为随机变量,若X1与X2独立,Y1与Y2独立,向量(X1,X2)与(Y1,Y2)独立,请证明X1,X2,Y1,Y2相互独立.

5.盒中有4个红球和4个黑球,每次从中取出1个球,取后不放回,共取4次.设X为前2次抽取所得的红球数,Y为取出的红球总数.试求:X的分布列;Y关于X的条件分布列;X与Y的联合分布列.

6.若(X,Y)的概率密度为

试求:

（1）常数A;

（2）关于X,Y的边缘概率密度;

（3）条件概率密度fX|Y(x|y);

（4）P{X≤x|Y＜1}.

7.求证:若F(x)为分布函数,则对任意h＞0,函数

都是分布函数.

8.设X,Y独立,且都服从Poisson分布,

求证:（1）X+Y仍服从Poisson分布;

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9.设X,Y独立,且概率密度分别为

求证:

10.设f1(x),f2(x),f3(x)对应的分布函数为F1(x),F2(x),F3(x),证明:对一切α(-1＜α＜1),下列函数是概率密度,且有相同的边缘密度f1(x),f2(x),f3(x)：

11.设随机变量X的概率密度为

求Y=sin X的概率密度fY(y).13.设(X,Y,Z)的概率密度为

试求U=X+Y+Z的概率密度.

14.设X,Y独立且它们的概率密度为

15.设随机变量X,Y的联合概率密度为

若U=2X,V=X+Y,求U,V的联合概率密度g(u,v).