3.1.2　 Riemann-Stieltjes积分

3.1.2　 Riemann-Stieltjes积分

在上一节定义的随机变量的k阶矩中,用到的积分不再是简单的Riemann积分,而是Riemann-Stieltjes积分,下面给出定义.

设g(x),F(x)为有限区间[a,b]上的实值函数,a=x0＜x1＜···＜xn=b为[a,b]的一个分割,令

如果当λ→0时,极限

存在,且与分割的选择以及ξi∈[xi-1,xi]的取法无关,则称该极限值为函数g(x)关于F(x)在[a,b]上的Riemann-Stieltjes积分,记为

容易看出,Riemann-Stieltjes积分具有和Riemann积分类似的性质.例如：积分的线性性质：

积分对于区间的可加性：

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以及

其中a,b均可为有限数或无穷大.与Riemann积分不同的是,

当F(x)在x=a处有跳跃时,上式的值等于F(x)在a点的跃度.当F(x)是一个阶梯函数时,式(3.1.1)成为一个级数,即设F(x)在x=xi处有跃度pi(i=1,2,···),则

利用Riemann-Stieltjes积分,我们可以统一定义离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望.

为X的数学期望（或简称期望、均值）.

下面给出离散型随机变量和连续型随机变量的各阶矩的统一的表达式：