3.1.3 关于概率测度的积分
定义3.1.3设h为非负简单函数,定义其在Ω上关于P的积分为
X的积分与单调增加列{hn}的选择无关.可以证明,S*是Ω上非负随机变量的全体.于是,对于任何非负随机变量,都可以按上式定义其积分.
令X是Ω上的任意随机变量.定义
1.期望和方差
当随机变量X可积时,它的期望可以定义如下.
定义3.1.4设X=X(ω)是概率空间(Ω,F,P)上的一个随机变量,若X在Ω上关于概率测度P的积分存在,则称此积分为X的数学期望,记为
注3.1.2关于Ω中样本点的某种性质Π,如果使得Π不成立的点的集合的概率是零,则称Π几乎必然（almost surely）或以概率1（with probability one）成立,记为a.s..用Lp(Ω),p≥1表示使得E(|X|p)＜∞的随机变量（等价类）的全体.
定理3.1.1(1)设X∈S*,则E(X)=0当且仅当X=0 a.s..
定理3.1.3(Fatou引理)对于任何序列{Xn}⊂S*,有
定理3.1.4(Lebesgue控制收敛定理)令{Xn}是Lp(Ω)中的序列且在Ω上几乎必然收敛,Y是Lp(Ω)中的非负函数且|Xn|≤Y,∀n≥1,则存在随机变量X,使得当n→∞时,Xn(ω)→X(ω),a.s.,X∈Lp且E(|Xn-X|p)→0.
以上定理的证明见文献[2].下面我们讨论方差及其性质.
定义3.1.5设X是概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,E(X)存在,则称E{[XE(X)]2}为X的方差,记为
当E(X)有限时,有
方差具有下面的性质.
(1)若c为常数,则D(cX)=c2D(X).
(2)如果X1,···,Xn是概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,具有有限的数学期望,且两两独立,则
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若X1,···,Xn的方差有限,则X1+···+Xn的方差也有限.
(3)D(X)=0的充要条件是X=E(X)a.s..
证明从略.
2.随机变量的矩
定义3.1.6设X是概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,如果E(Xk)存在,k=0,1,2,···,则称ak≜E(Xk)为X的k阶原点矩;如果E{[X-E(X)]k}存在,k=0,1,2,···,则称bk≜E{[X-E(X)]k}为X的k阶中心矩;如果E(|X|r)(r≥0)存在,则称βr≜E(|X|r)为X的r阶绝对矩.
随机变量的矩具有下面的性质：
如果E(|X|r)＜+∞,则对于0≤r′≤r,E(|X|r′)＜+∞,k≤r,E(Xk)存在且有限.
理由如下：
当0≤r′≤r时,由于|X|r′≤1+|X|r,所以E(|X|r′)≤1+E|X|r＜+∞,对于0≤k≤r,由E(|X|k)＜+∞知,E(Xk)存在且有限.
3.协方差和相关系数
定义3.1.7设X,Y是概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,数学期望都存在.如果E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在,则称
为X,Y的协方差;若D(X),D(Y)均有限且不为0,则称
为X,Y的相关系数.
设协方差Cov(X,Y)和相关系数ρXY都存在,则它们具有下面的性质：
其中a=Cov(X,Y)/D(X),b=E(Y)-aE(X);
（4）若X,Y独立且数学期望有限,则Cov(X,Y)=0,ρXY=0.
此处只证（3）.令
则
可见,当
时,Δ取得最小值：
因此,|ρXY|=1的充要条件是
由非负可积函数的积分性质知,上式成立的充要条件是
可见（3）成立.
