3.1.4　矩母函数

在求某些随机变量的各阶矩时,使用矩母函数有时会更方便.

定义3.1.8设随机变量X的分布函数为F(x),如果积分

存在,则称φ(t)为X的矩母函数.

定义3.1.8中的两个积分分别是关于概率测度的积分和Riemann-Stieltjes积分,关于这两个积分相等的问题,下一节会说明.假设对φ(t)求导时,求导运算与求期望运算可以交换次序,则逐次求φ(t)在零点的导数,可得到X的各阶矩,即(https://www.daowen.com)

令t=0,得到

当矩母函数存在时,我们能用它来刻画随机变量的概率分布.但有时随机变量的矩母函数不一定存在,在这种情况下,更方便的方法是运用第4章定义的特征函数,后面我们会详细讨论.